给定一个非负整数 numRows
,生成「杨辉三角」的前 numRows
行。
在「杨辉三角」中,每个数是它左上方和右上方的数的和。
示例 1:
输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
示例 2:
输入: numRows = 1
输出: [[1]]
方法:
杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一,它把二项式系数图形化,把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来,是一种离散型的数与形的结合。
杨辉三角具有以下性质:
每行数字左右对称,由 11 开始逐渐变大再变小,并最终回到 11。
第 nn 行(从 00 开始编号)的数字有 n+1n+1 项,前 nn 行共有 \frac{n(n+1)}{2}
2
n(n+1)
个数。
第 nn 行的第 mm 个数(从 00 开始编号)可表示为可以被表示为组合数 \mathcal{C}(n,m)C(n,m),记作 \mathcal{C}_n^mC
n
m
或 \binom{n}{m}(
m
n
),即为从 nn 个不同元素中取 mm 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它:\mathcal{C}_n^m=\dfrac{n!}{m!\times (n-m)!}C
n
m
=
m!×(n−m)!
n!
每个数字等于上一行的左右两个数字之和,可用此性质写出整个杨辉三角。即第 nn 行的第 ii 个数等于第 n-1n−1 行的第 i-1i−1 个数和第 ii 个数之和。这也是组合数的性质之一,即 \mathcal{C}_n^i=\mathcal{C}_{n-1}^i+\mathcal{C}_{n-1}^{i-1}C
n
i
=C
n−1
i
+C
n−1
i−1
。
(a+b)^n(a+b)
n
的展开式(二项式展开)中的各项系数依次对应杨辉三角的第 nn 行中的每一项。
依据性质 44,我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 ii 行的值,我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1i+1 行的值。
class Solution {
public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
List<List<Integer>> ret = new ArrayList<List<Integer>>();
for (int i = 0; i < numRows; ++i) {
List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
for (int j = 0; j <= i; ++j) {
if (j == 0 || j == i) {
row.add(1);
} else {
row.add(ret.get(i - 1).get(j - 1) + ret.get(i - 1).get(j));
}
}
ret.add(row);
}
return ret;
}
}