欧拉公式：
\[ e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta \]

证明一

令
\[ f(\theta)=\frac{e^{i\theta}}{\cos \theta + i \sin \theta} \]

对 \(f(\theta)\) 求导，可以得到：

\[ \begin{aligned} f^{\prime}(\theta) &= \frac{\left(e^{i\theta}\right)^{\prime}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^\prime}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(-\sin \theta + i \cos \theta\right)}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-i\cdot e^{i\theta}\left(\cos \theta +i \sin \theta\right)}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &=0 \end{aligned} \]

故 \(f(\theta)\) 为常数，\(f(\theta)=f(0)=1\)。证毕。

证明二

根据泰勒展开，有下列等式成立：
\[ \begin{aligned} e^x &=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \\ \sin x &=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos x &=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned} \]
将 $x=i\theta $ 代入 \(e^x =\sum_{\mathrm{i}=0}^{+\infty} \frac{x^\mathrm{i}}{\mathrm{i}!}\)，得到
\[ e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n\theta^{n}}{n!} \]

因为 \(i^n\) 有周期性，考虑将上面的式子按照奇偶项分类
\[ \begin{aligned} e^{i\theta}&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{2n}\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{2n}\theta^n}{(2n+1)!}\\ &=\cos x+i\sin x \end{aligned} \]
证毕。