【数据结构与算法】第2章-算法

【数据结构与算法】第2章-算法

本文仅作学习阅读记录,不作他用!


总结:
算法的定义: 算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每一条指令表示一个或者多个操作。
算法的特性: 输入、输出、有穷性、确定性、可行性。
算法的设计要求: 正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储。
算法的度量方法: 事后统计方法、事前分析估算方法


《大话数据结构》第2章阅读笔记。

1 算法定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每一条指令表示一个或者多个操作。

2 算法的特性

五大基本特性:输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

2.1 输入输出

算法具有零个或者多个输入,至少有一个或者多个输出。

2.1 有穷性

指算法在执行完有限的步骤后,自动结束而不会出现无限循环,并且每个步骤在可接受的步骤内纸箱完成。

2.3 确定性

算法的每一个步骤都具有确定的含义,不会出现二义性。

2.4 可行性

算法的每一步骤都是可行的,也就是说,每一步都能通过执行有限次数完成。

3 算法设计的要求

3.1 正确性

算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能够正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

3.2 可读性

算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

3.3 健壮性

当输入数据不合法时,算法也能作出相关处理,而不是产生异常或者莫名奇妙的结果。

3.4 时间效率高和存储量低

设计算法要尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

4 算法效率的度量方法

4.1 事后统计方法

4.2 事前分析估算法

在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算。
基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。

5 函数的逐渐增长

超过整数N,f(N)总是大于g(n),f(n)的增长渐进快于g(n).

  • 最高次项的常数不重要
  • 最高次项指数越大,变增长地越快。
  • 其他次项和常数常常可以忽略

6 算法时间复杂度

6.1 算法时间复杂度定义

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级别。
算法的时间复杂度,也就是算法的时间度量,记作:T(n)=O(f(n))。他表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模的n的摸个函数。

使用大写 O() 来体现算法时间复杂度的记发,称之为大 O 记法。
一般情况下,随着n的增长,T(n)增长最慢的算法是最优算法。

6.2 推导大O阶方法

推导大O阶:

  1. 用常数1以取代运行时间中的所有加法常数。
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

6.3 常数阶

运行次数函数是f(n)=3,根据第一条,时间复杂度直接记为O(1)

6.4 线性阶

关键就是分析循环结构的运行情况。

O(n)

for(int i = 0; i<n; i++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}

6.5 对数阶

int count = 1;
while (count < n)
{
	count = count * 2;
	/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

设循环次数为想,则 2 x = n 2^x=n 2x=n --> x = l o g 2 n x=log_2n x=log2​n,所以 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2​n)

6.6 平方阶

O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

int i ,j;
for (i = 0; i < m; i++)
{
	for(j = 0; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

&O(m x n)&

int i ,j;
for (i = 0; i < m; i++)
{
	for(j = 0; j < n; j++)
	{
		/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
	}
}

7 常见的时间复杂度

执行次数函数 非正式术语
12 12 12 O ( 1 ) O(1) O(1) 常数阶
2 n + 3 2n+3 2n+3 O ( n ) O(n) O(n) 线性阶
3 n 2 + 2 n + 1 3n^2+2n+1 3n2+2n+1 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 平方阶
5 l o g 2 n + 20 5log_2n+20 5log2​n+20 O ( l o g n ) O(log n) O(logn) 对数阶
2 n + 3 n l o g 2 n + 19 2n+3nlog_2n+19 2n+3nlog2​n+19 O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn) n l o g n nlogn nlogn阶
6 n 3 + 2 n 2 + 3 n + 4 6n^3 + 2n^2 + 3n + 4 6n3+2n2+3n+4 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) 立方阶
2 n 2^n 2n O ( 2 n ) O(2^n) O(2n) 指数阶

O ( 1 ) < O ( n ) < O ( n 2 ) < O ( l o g n ) < O ( n l o g n ) < O ( n 3 ) < O ( 2 n ) < O ( n ! ) < O ( n n ) O(1) < O(n) < O(n^2) < O(log n) < O(n log n) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n) O(1)<O(n)<O(n2)<O(logn)<O(nlogn)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)

8 最坏情况与平均情况

通常提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均情况是期望的运行时间。

9 算法空间复杂度

空间开销换取计算时间
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作: S ( n ) = O ( f ( n ) ) S(n)=O(f(n)) S(n)=O(f(n)),其中n为问题规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

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