前n个自然数的和

考虑和及其倒写形式：

\[\begin{align*} S&=1+2+\cdots+n\\ S&=n+(n-1)+\cdots+1 \end{align*} \]

对应项之和总是\(n+1\)，相加得：

\[2S=n(n+1) \]

于是：

\[S=\frac{n(n+1)}{2} \]

前n个自然数的平方和

考虑将平方和表示为一个边长为n的等边三角形上的数之和，从一个顶角到所对底边，与底边平行的线段上的数依次为：1个1,2个2,3个3,...,n个n，将这三角形分别按顺时针和逆时针旋转60度，所得两个三角形与原三角形叠合，并将重合的数求和，都是\(2n+1\),于是：

\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{(2n+1)(1+2+\cdots+n)}{3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

前n个自然数的立方和

考察一个\(n\times n\)表格，第i行j列的数为ij,第n行和第n列上的数之和为：

\[2(n+2n+3n+\cdots+n^2)-n^2=n^3 \]

所有数之和可以这样计算：从\(1\times 1\)表格开始，此时仅有\(1=1^3\)，添上一行一列变为\(2\times 2\)表格，增加了\(2^3\)，再添一行一列变为\(3\times 3\)表格，增加了\(3^3\),...最后变为\(n\times n\)表格，增加了\(n^3\)，所以所有数之和为前n个自然数的立方和。另一方面，这表格中的数为\((1+2+3+\cdots+n)^2\)展开所得的\(n^2\)项，于是：

\[1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]