基础数论部分

整数

数学归纳法(非常有用的证明方法)

数学归纳原理(弱归纳)

一个包含整数 \(1\) 的正整数集合如果具有以下性质，即若其包含整数 \(k\) ,则其也包含整数 \(k+1\),那么这个集合一定是所有正整数的集合。

高考要考的。

举个栗子:证明:

\[\sum_{j=1}^{n} j^{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \]

• 将 \(n=1\) 代入得 \(\sum_{j=1}^{1} j^{2} = 1\),结论显然成立。

• 假设公式对于 \(n\) 成立，即 \(\sum_{j=1}^{n} j^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 成立,根据归纳假设有:

\[\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n+1} j^{2}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +(n+1)^2\ \ 把j=n+1项分离出来 \\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\ &=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \\ &=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \\ \end{aligned}\]

则结论成立。

第二数学归纳原理(强归纳)

对于包含 \(1\) 的正整数集合，如果它具有下述性质:

对于每一个正整数 \(n\) ,如果它包含全体正整数 \(1,2,···,n\) ,则它也包含正整数 \(n+1\) 。

那么这个集合一定是由所有正整数的集合。

斐波那契数

定义: \(\ \ f_{1}=1,\ \ f_{2}=1,\ \ 且对n\ge 3,有:\ \ f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\)。