二分法及其应用

  二分法,是通过不断缩小解的可能存在的范围,从而求得问题的最优解的方法。经常有二分与其他算法结合的题目。


 

  1.从有序数组查找某个值  -- 以STL中的lower_bound与upper_bound为例

  lower_boud( begin, end, val ) 函数输入需要查找的有序数列前闭后开区间,查找数列中第一个>=val的位置。而upper_bound返回数列中第一个>val的位置。

如果不存在符合条件的值则返回end(可能会越界)。如果数列中存在val,则[ lower_boud , upper_bound)之间的位置均为val。

  lower_boud与upper_bound的实现(与STL中稍有不同):

int lower_bound( int *a, int length, int val )
{
    int lb = 0, ub = length - 1;
    while( ub-lb>1 )
    {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        if( a[mid]>=val )    ub = mid;
        else                 lb = mid;
    }
    return ub;
}

int upper_bound( int *a, int length, int val )
{
    int lb = 0, ub = length - 1;
    while( ub-lb>1 )
    {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        if( a[mid]>val )    ub = mid;
        else                lb = mid;
    }
    return ub;
}

  可以这样理解:对于lower_bound,如果此时的 mid 满足 a[ mid ] >= val ,那么就将右端点变为mid,让区间向左端靠近,最后的mid为最左端且满足>=val的位置。

同理upper_bound:让区间向满足>val的位置靠近,一步步缩小区间长度。


   2.判断一个解是否可行

  Cable master (POJ No.1064 ) 参见《挑战程序设计竞赛》p140

  有N条绳子,它们的长度分别是Li。如果我们从它们中切割出K条长度相同的绳子的话,每条绳子最长有多长?答案保留到小数点两位数。

  与上面搜索的思路类似,我们用C(x):每条绳子为x满足切割出K条的条件。每次判断条件是否成立,如果成立则用二分的方式将区间向右端移动(lb = mid)。

  那么现在的问题是如何高效实现C(x):对于长度为Li的绳子最多能切割floor(Li / x)个绳子,那么所有能切割绳子个数的总和>=K即满足条件。

#include<cstdio>
#include<cmath>

const int Max_N = 10000;
const int INF    = 1e8;

int N,K;
double L[Max_N];

bool C( double x );
void solve();

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&K);
    for( int i=0; i<N; i++ )    scanf("%lf",&L[i]);
    
    solve();
    
    return 0;
}

bool C( double x )
{//判断是否满足条件 
    int cnt = 0;
    for( int i=0; i<N; i++ )
    {
        cnt += (int)(L[i] / x);
    }
    return cnt>=K;
}

void solve()
{
    //初始化解的范围 
    double lb = 0, ub = INF;
    
    //重复循环,直到解的范围足够小 
    for( int i=0; i<100; i++ )
    {
        double mid = (lb + ub) / 2;
    //    printf("mid = %.2lf\n",mid);
        if( C(mid) )    lb = mid;//区间向右移动 
        else        ub = mid; 
    }
    printf("%.2lf\n",floor(lb*100)/100); //保留二位小数
}

  二分搜索法结束的判定:在输出小数问题中,一般会指定允许的误差范围或是指定输出中小数点后面的位数。因此在使用二分搜索法时,有必要设置合理的结束条件

来满足精度的要求。在上面的程序中我们指定了程序的循环次数作为终止条件。1次循环可以把区间缩小一半,100次循环则可以达到1e-30的精度范围,基本上是没有

问题的。此外还可以把中制条件设为( ub - lb ) > EPS,指定区间的大小。在这种条件下,如果EPS取得太小,就有可能会因为浮点小数精度问题的原因陷入死循环,请千万小心。


  3.最大化最小值

  愤怒的牛  https://www.dotcpp.com/oj/problem2346.html

  农夫 John 建造了一座很长的畜栏,它包括N(2≤N≤100,000)个隔间,这些小隔间依次编号为x1,...,xN(0≤xi≤1,000,000,000). 但是,John的C(2≤C≤N)头牛们并不喜欢这种布局,

而且几头牛放在一个隔间里,他们就要发生争斗。为了不让牛互相伤害。John决定自己给牛分配隔间,使任意两头牛之间的最小距离尽可能的大,那么,这个最大的最小距离是什么呢?

 

  类似最大化最小值/最小化最大值的问题,通常可以用二分法就可以很好的解决。

  我们令C( d ):可以安排牛的位置使得任意两头牛的位置都不小于d。

  C(d)的判断可以用贪心法很好的解决:

    对牛舍的位置排序

    把第一头牛放入x0的牛舍

    如果第 i 头牛放入 xi ,则第 i+1 头牛放入 xk - xj >= d 的最小的k中

  之后思路与之前类似:二分判断,如果 d 符合条件则让区间向右端移动(l = mid),否则向左移动。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF     = 1e8;
const int Max_N = 100000;

int N,M; //N个隔间 M头牛 
int x[Max_N];

bool C( int d );
void solve();

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for( int i=0; i<N; i++ )    scanf("%d",&x[i]);
    
    solve();
    
    return 0;
}

bool C( int d )
{
    int last = 0; //当前牛位置x[last] 
    for( int i=1; i<M; i++ )
    {
        int crt = last + 1; //下一头符合条件的最左端位置
        while( crt<N && x[crt]-x[last]<d )
        {
            crt++;    
        } 
        if( crt==N )
        {//直到最后一个隔间都无法满足条件 
            return false;
        }
        last = crt; //更新last 
    }
    return true;
}

void solve()
{
    /*对隔间排序*/
    sort(x,x+N);
    /*初始化解的范围*/ 
    int lb = 1, ub = INF;
    /*二分求解*/
    while( ub-lb>1 )
    {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        if( C(mid) )    lb = mid;
        else            ub = mid;
    }
    printf("%d\n",lb);
}

  数列分段II  https://www.dotcpp.com/oj/problem2348.html 

  对于给定的一个长度为N的正整数数列A[i],现要将其分成M(M≤N)段,并要求每段连续,且每段和的最大值最小。

  关于最大值最小:

  例如一数列4 2 4 5 1要分成3段

  将其如下分段:

  [4 2][4 5][1]

  第一段和为6,第2段和为9,第3段和为1,和最大值为9。

  将其如下分段:

  [4][2 4][5 1]

  第一段和为4,第2段和为6,第3段和为6,和最大值为6。

  并且无论如何分段,最大值不会小于6。

  所以可以得到要将数列4 2 4 5 1要分成3段,每段和的最大值最小为6。


  最大化最小值,同样的二分思路,唯一不同的是C( d )的实现。

  令C( d ):任意段的和不大于d。其实现仍然可以用贪心法:

    last初值为0

    找到使得下标从last-crt和不大于d的最大crt。

    last = crt + 1 

#include<cstdio>

const int INF     = 1e8;
const int Max_N = 100000;

int N,M; //N个整数 M段 
int x[Max_N];

bool C( int d );
void solve();

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for( int i=0; i<N; i++ )    scanf("%d",&x[i]);
    
    solve();
    
    return 0;
}

bool C( int d )
{
    int last = 0; //当前区间左端点
    for( int i=0; i<M; i++ )
    {
        int sum = x[last];//区间和
        if( sum>d )    return false;//单个数字就超过最大值 
        int crt = last + 1;    
        while( crt<N && sum+x[crt]<=d )
        {
            sum += x[crt];
            crt++;
        }
        if( crt==N )
        {//数字用完,说明可以分>=M段(比如d=INF则crt=N时i=0) 
            return true; 
        } 
        last = crt;
    } 
    return false; //如果没用完数字则不符合条件 
}

void solve()
{
    /*初始化解的范围*/ 
    int lb = 1, ub = INF;
    /*二分求解*/
    while( ub-lb>1 )
    {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        if( C(mid) )    ub = mid; //区间向左端移动 
        else            lb = mid;
    }
    printf("%d\n",ub);
}

  4.最大化平均值

  有n个物品的重量和价值分别是 wi 和 vi 。从中选出 k 个物品使得单位重量的价值最大。

  样例:输入 n = 3,k = 2,( w,v ) = { (2,2),(5,3),(2,1)}  输出0.75(选择0号和2号物品)

  最开始想到的是贪心法求解:选取前 k 个单位重量价值最大的物品。但样例就是一个反例:按贪心策略应该选取0号和1号物品,但其单位重量价值并不是最大。

 

  实际上这一题可以用二分法求解:

  令C( x ):可以选取 k 个物品使得单位重量价值不小于x。那么只要求满足C( x )成立的最大x即可。

  问题变为C( x )如何实现:假设我们选取物品的某个集合S,那么其单位重量价值为∑([i∈S])vi / ∑([i∈S])wi。

  C( x ) :  ∑( [ i ∈ S ] )vi / ∑( [ i ∈ S ] )wi >= x  --> 

      ∑( [ i ∈ S ] )vi >= x * ∑ ( [ i ∈ S ] )wi  --> 

      ∑( [ i ∈ S ] )( vi - x*wi ) >=0 

  因此,我们可以对 vi - x*wi 贪心选取:选择前 k 个最大的 vi - x * wi,判断和是否>=0。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF = 1e8;
const int Max_N = 10000;

int n,k;
int w[Max_N], v[Max_N];
double res[Max_N]; //保存 vi - x*wi 

bool C( double x );
void solve();

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for( int i=0; i<n; i++ )
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    }
    
    solve();
    
    return 0;
}

bool C( double x )
{
    for( int i=0; i<n; i++ )
    {
        res[i] = v[i] - x*w[i];
    }
    
    sort(res,res+n);
    
    /*计算res最大的k个数的和*/ 
    double sum = 0;
    for( int i=0; i<k; i++ )
    {
        sum += res[n-i-1];
    }
    return sum>=0;
}

void solve()
{
    /*解的区间*/
    double lb = 0, ub = INF;
    for( int i=0; i<100; i++ )
    {//用循环次数保证精度 
        double mid = (lb + ub) / 2;
        if( C(mid) )    lb = mid;
        else            ub = mid;
    }
    printf("%.2lf\n",lb);
}
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