之前一直都是直接使用深度学习的框架，但对里面所涉及到的基本算法却没有深入研究。看了吴恩达的机器学习视频之后，决定使用MATLAB实现一个简单的神经网络，深刻体会到只有用代码从头实现一个算法，才会对这个算法理解得更加深刻，也才能真正掌握该算法。
机器学习定义如下：一个程序被认为能从经验E中学习，解决任务T，达到性能P，当且仅当，有了经验E之后，经过度量P的评判，程序在处理T的性能有所提升。
神经网络是机器学习中的一类算法，在训练过程中，神经网络内部不断地调整其内部参数的大小，使得神经网络的输出不断地向标签靠拢。其中，“调整参数大小”这个过程一般是“梯度下降”，在一个多层的神经网络中，要达到“梯度下降”这个目的，就不得不提一下反向传播算法(Backpropagation Algorithm, BP)。
BP算法的核心就是链式求导法则，这里对BP算法的理论推导如下，主要参考[1]-[3]。
如图所示，考虑一个有三层、每层有两个神经元的神经网络：
上图为决策面可视化结果，蓝色为判为(0,1)与(1,0)的区域，红色为判为(0,0)，(1,1)的区域。
上图为修改损失函数为交叉熵时的结果，学习率同样为0.5，可以看出在400次左右便达到收敛，因此损失函数的设计对整个神经网络的参数调整至关重要，至于为什么将损失函数调整为交叉熵后，收敛速度会增加，可自行查阅资料，这里给出一个结论：当输出层采用线性激活函数时，损失函数采用MSE会收敛更快；当输出层采用sigmoid函数时，一般采用交叉熵会收敛更快，且不容易陷入局部最优的情况。
此外，实验表明，学习率对神经网络的收敛也有比较大的影响。当学习率较大时，有可能收敛较快，当然也可能根本不收敛；当学习率较小时，容易进入局部最小值，且收敛较慢。还有就是网络深度不够或者神经元节点较少时，难以训练出较复杂的判决面(例如程序中想训练出一个圆形判决面，但是效果不好)。
如有精通矩阵的同学，可尝试推导一下损失函数对每个参数求偏导的矩阵求导写法。
接下来是“talk is cheap, show you the code”环节。
MATLAB代码及详细注释如下：
主函数：BP_xor_classifier.m
clc;close all;clear;
%% 训练集
%% xor训练集
X = [0,0;0,1;1,0;1,1]'; %一列为一个样本
Y = [1,0;0,1;0,1;1,0]'; %标签 一列为一个标签 onehot编码后的
%% 圆训练集（网络太浅，分类效果不好）
% train_number = 400;
% r_small = rand(1,train_number);%分布在小圆内的100个点
% r_big = r_small + rand(1,train_number);
% angle_small = 2 * pi *rand(1,train_number);
% angle_big = 2 * pi * rand(1,train_number);
% small(1,:) = r_small .* cos(angle_small);
% small(2,:) = r_small .* sin(angle_small);
% small(3:4,:) = [ones(1,size(r_small,2));zeros(1,size(r_small,2))];
% big(1,:) = r_big .* cos(angle_big);
% big(2,:) = r_big .* sin(angle_big);
% big(3:4,:) = [zeros(1,size(r_small,2));ones(1,size(r_small,2))];
% joint_temp = [small,big];
% rerank_idx = randperm(size(joint_temp,2));
% joint = joint_temp(:,rerank_idx);
% X = joint(1:2,:);
% Y = joint(3:4,:);
%% 参考博客数据：测试用
% Y = [0.01;0.99];
% X = [0.05;0.1];
% theta_layer1 = [0.35,0.15,0.2;0.35,0.25,0.3];
% theta_layer2 = [0.6,0.4,0.45;0.6,0.5,0.55];
%% 学习率和训练次数
learning_rate = 0.1;
iter = 10000;
%% 搭建前向传播网络,初始化网络
layer1_unit = 2;%各层神经元的个数第一层为输入层，最后一层为输出层
layer2_unit = 2;
layer3_unit = 2;
%参数初始化
theta_layer1 = rand(layer2_unit,layer1_unit+1);%即M*N的随机矩阵，行数为下一层的神经元个数，一行为一组参数，即（b1,w1,w2）
theta_layer2 = rand(layer3_unit,layer2_unit+1);%列数为前一层神经元个数+1（加上权重的参数1）
for i = 1:iter
for j = 1:size(X,2)%一列为一个样本，一个一个遍历该样本
%% 搭建前馈式网络
%输入层
out_layer1 = [ones(1,size(X(:,j),2));X(:,j)];%往X的第一行插入一行1，即权重b的系数，用于后面的向量化相乘，这是第一层的输出（隐藏层的输入）
%隐藏层
net_H = theta_layer1 * out_layer1;
out_H = sigmoid(net_H);
out_H_plus1 = [ones(1,size(out_H,2));out_H];%加一行,同上
%输出层
net_O = theta_layer2 * out_H_plus1;
out_O = sigmoid(net_O);
%% 反向传播
%损失函数为MSE，即loss = (Y - out_O) .^ 2 / 2
%% 首先求损失对theta_layer2求偏导（链式求导法则）
%diff(loss/theta_layer2) = diff(loss/out_O) * diff(out_O/net_O) *diff(net_O/theta_layer2)
%即损失对网络输出求导 * 网络输出对未激活的输出求导 * 未激活的输出对theta_layer2求导
%diff(loss/out_O) = -(Y - out_O )
%diff(out_O/net_O) = diff(sigmoid(net_O))
%diff(net_O/theta_layer2) = out_H_plus1
% theta_layer2_der = -(Y(:,j) - out_O) .* sigmoid_der(net_O) *out_H_plus1';
%上式中，diff(net_O/theta_layer2)（即out_H_plus1）中每一列的列向量，
%分别是net_O对theta_layer2求的偏导结果
%这里做转置的原因是：前两项矩阵元素相乘的结果（2*1），
%每一项都要与out_H_plus1（3*1）中的元素相乘，得到一个2*3的矩阵
%% 上式为矩阵写法，这里，可改写为以下程序更容易理解
% temp = -(Y(:,j) - out_O) .* sigmoid_der(net_O);
% for m = 1:size(temp,1)
% theta_layer2_der(m,:) = temp(m) * out_H_plus1;
% end
%% 接下来对theta_layer1求偏导（同理，链式求导法则）
%diff(loss/theta_layer1) = diff(loss/out_H) * diff(out_H/net_H) *diff(net_H/theta_layer1)
%diff(loss/out_H) = diff(loss/out_O) * diff(out_O/net_O) *diff(net_O/out_H_plus1)
%上式中，与diff(loss/theta_layer2)的区别只是最后一项是对out_H_plus1求的偏导
%diff(net_O/out_H_plus1) = theta_layer2'，矩阵乘法求导，Y = AX，则A需要转置
%上式中，diff(net_O/out_H_plus1)的结果包含偏置项的系数，在反向传播中不需要，将其舍去（结果的第一行）
%diff(out_H/net_H) = diff(sigmoid(net_H))
%diff(net_H/theta_layer1) = out_layer1
% theta_layer1_der = theta_layer2(:,2:end)' * (-(Y(:,j) - out_O)) .*sigmoid_der(net_O) ...
% .* sigmoid_der(net_H) *out_layer1';
%% 另外的写法：记每一层的误差为Delta
%diff(loss/net_O) = diff(loss/out_O) * diff(out_O/net_O)
% Delta_3 = -(Y(:,j) - out_O) .* sigmoid_der(net_O); %损失函数为MSE时
Delta_3 = (out_O - Y(:,j))./((1 - out_O) .* out_O) .* sigmoid_der(net_O);%损失函数为交叉熵
%diff(loss/net_H) = diff(loss/out_O) * diff(out_O/net_O) *diff(net_O/out_H_plus1) * diff(out_H_plus1/net_H)
%这里，需要将偏置那一项去掉，即diff(net_O/out_H_plus1) = theta_layer2(:,2:end)'
Delta_2 = theta_layer2(:,2:end)' * Delta_3 .* sigmoid_der(net_H);
theta_layer2_der = Delta_3 * out_H_plus1';
theta_layer1_der = Delta_2 * out_layer1';
%% 更新参数
theta_layer2 = theta_layer2 - learning_rate * theta_layer2_der;
theta_layer1 = theta_layer1 - learning_rate * theta_layer1_der;
%注：这里两种方法计算所得的theta_layer1在小数点后第6位不相同，推测是由于软件精度所致
end
%% 计算损失并作图动态显示
% loss(i) = sum((Y(:,j) - out_O) .^ 2 / 2);
loss(i) = sum(-Y(:,j) .* log(out_O) - (1 - Y(:,j)) .* log(1 - out_O));
% figure(1)
% plot(i,loss,'<');
% drawnow;
% hold on;
end
%% 做预测
a = 0:0.01:1;
b = 0:0.01:1;
X = [];
for i = 1:size(a,2)
for j = 1:size(b,2)
temp = [a(i);b(j)];
X = [X,temp];
end
end
% X = [0.7,10]';
for j = 1:size(X,2)
out_layer1 =[ones(1,size(X(:,j),2));X(:,j)];
%隐藏层
net_H = theta_layer1 *out_layer1;
out_H = sigmoid(net_H);
out_H_plus1 =[ones(1,size(out_H,2));out_H];%加一行,同上
%输出层
net_O = theta_layer2 *out_H_plus1;
predict(:,j) = sigmoid(net_O);
end
%% 作图查看判决面（分类面）
figure(1)
plot(loss);%损失随迭代次数的变化
[~,c2]=max(predict);
class_one_idx = find(c2 == 1);
class_two_idx = find(c2 == 2);
class_one = X(:,class_one_idx);
class_two = X(:,class_two_idx);
figure(2)
plot(class_one(1,:),class_one(2,:),'ro');
hold on;
plot(class_two(1,:),class_two(2,:),'b<');
sigmoid函数：sigmoid.m
function a = sigmoid(X)
for i = 1:size(X,1)
for j = 1:size(X,2)
a(i,j) = 1/(1+exp(-X(i,j)));%激活函数
end
end
end
sigmoid的导数：sigmoid_der.m
%% 此函数为sigmoid的导数
function a = sigmoid_der(x)
a = zeros(size(x));
for i = 1:size(x,1)
a(i,:) = sigmoid(x(i,:)) *(eye(size(x,2)) - diag(sigmoid(x(i,:))));
end
参考：
[1]https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/?spm=a2c4e.10696291.0.0.358f19a4xonKKs.
[2] https://blog.csdn.net/zhaomengszu/article/details/77834845
[3] 吴恩达机器学习视频