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https://www.acwing.com/problem/content/93/

给定一个 n n n阶带权无向图，顶点从 0 ∼ n − 1 0\sim n-1 0∼n−1标号，求从起点 0 0 0到终点 n − 1 n-1 n−1的Hamilton路径的最短长度。两个顶点之间路径的长度 A [ i ] [ j ] A[i][j] A[i][j]由一个对称方阵给出。

数据范围：
1 ≤ n ≤ 20 1\le n\le 20 1≤n≤20
0 ≤ a [ i , j ] ≤ 1 0 7 0\le a[i,j]\le 10^7 0≤a[i,j]≤107

思路是动态规划。可以用状态压缩。设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]是当前访问顶点状态是 i i i并且当前恰好位于点 j j j的情况下，所走的最短距离。这里 i i i的各个二进制位表示每个标号的顶点是否访问过。按照走到 j j j之前上一个访问的顶点编号是多少分类，则有： f [ i ] [ j ] = min ⁡ i > > k & 1 = 1 , k ≠ j ( f [ i − ( 1 < < j ) ] [ k ] + A [ k ] [ j ] ) f[i][j]=\min_{i>>k\&1=1,k\ne j}(f[i-(1<<j)][k]+A[k][j]) f[i][j]=i>>k&1=1,k​=jmin​(f[i−(1<<j)][k]+A[k][j])这里的 k k k的条件是，首先 k ≠ j k\ne j k​=j，即要从一个不同于 j j j的地方走过来，其次， i i i里走过的顶点要包含 k k k。初始条件 f [ 1 ] [ 0 ] = 0 f[1][0]=0 f[1][0]=0，意味着从起点出发的时候总距离是 0 0 0。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 21, M = 1 << N;

int n;
int w[N][N], f[M][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;

    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) 
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    if (k != j && i >> k & 1)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);

    printf("%d\n", f[(1 << n) - 1][n - 1]);

    return 0;
}

时间复杂度 O ( n 2 2 n ) O(n^22^n) O(n22n)，空间 O ( n 2 n ) O(n2^n) O(n2n)。