\(\newcommand{e}{\mathrm{e}}\)
没有数学基础，不保证讲解严谨性。
根据套路，设 \([x^t]\hat F(x)\) 为 \(t\) 时刻在终点的概率 EGF，\([x^t]\hat G(x)\) 为从终点走 \(t\) 步回到终点的概率 EGF，并将 \(\hat F, \hat G\) 转回 OGF \(F, G\)（\(\e^{px} \to \dfrac{1}{1-px}\)），因为 \(A(x)G(x) = F(x)\)，所以答案 \(A(x) = \dfrac{F(x)}{G(x)}\)。
每个格子的 EGF 都形如 \(\dfrac{\e^x \pm \e^{-x}}2\) 的形式，经过简单的推导即可求出每行的 EGF，卷积即得 \(\hat F, \hat G\)。
对概率 OGF 求导并带 \(1\) 可以求得期望，注意到 \(x\to 1\) 时这个求和不收敛，但注意到 \(F(1), G(1)\) 都是无穷大，\(F'(1), G'(1)\) 是二阶的无穷大，分子上的三阶的无穷大被消掉了，所以对 \(\dfrac{F'(x)G(x) - F(x)G'(x)}{G^2(x)}\) 的二阶无穷大求比值即可。