题目大意
给出一个序列 a a a，问是否能找到四个数 n , m , s , c n,m,s,c n,m,s,c，满足以下条件
- a a a 的长度为 n n n
- a 1 = s m o d m a_1=s \mod m a1=smodm
- a i = ( a i − 1 + c ) m o d m ∣ ( 1 < i ≤ n ) a_i=(a_{i-1}+c) \mod m \space | \space (1 < i \le n) ai=(ai−1+c)modm ∣ (1<i≤n)
- 0 ≤ c < m 0 \le c < m 0≤c<m
- m m m 尽可能的大
如果不能找到这样的四个数，输出 -1
如果
m
m
m 可以任意大，输出 0
否则，输出最大可能的
m
m
m 和其对应的
c
c
c，如果有多个可能的
c
c
c，输出任意一个
解题思路
一道较为简单的数论+模拟题，但似乎在赛时卡掉了很多人
首先，因为 0 ≤ c < m 0 \le c <m 0≤c<m，我们可以把 m o d m \mod m modm 的操作换成：如果 ≥ m \ge m ≥m，就减去 m m m。
那么，对于 ( 1 < i ≤ n ) (1 < i \le n) (1<i≤n)，就有如下两种可能：
- a i = a i − 1 + c − m a_i=a_{i-1}+c-m ai=ai−1+c−m
- a i = a i − 1 + c a_i=a_{i-1}+c ai=ai−1+c
可以发现，如果 a i − 1 + c ≥ m a_{i-1}+c \ge m ai−1+c≥m，就一定有 a i < a i − 1 a_i<a_{i-1} ai<ai−1。因为 c − m < 0 c-m<0 c−m<0
现在，我们按顺序判断如下几种情况
- 如果 a i ≤ a i + 1 ∣ 1 ≤ i < n a_i \le a_{i+1} \space | \space 1 \le i <n ai≤ai+1 ∣ 1≤i<n，且所有 a i + 1 − a i a_{i+1}-a_i ai+1−ai 都相等，那么输出 0 0 0，因为生成序列式不需要取模
- 当满足 a i > a i + 1 ∣ 1 ≤ i < n a_i > a_{i+1} \space | \space 1 \le i <n ai>ai+1 ∣ 1≤i<n，如果所有 a i + 1 − a i a_{i+1}-a_i ai+1−ai 都相等，输出 0 0 0，否则输出 − 1 -1 −1
- 现在，已经满足了既有 a i > a i + 1 a_i> a_{i+1} ai>ai+1，也有 a i ≤ a i + 1 a_i \le a_{i+1} ai≤ai+1。那么，我们可以根据 a i ≤ a i + 1 a_i \le a_{i+1} ai≤ai+1 的地方来求出 c c c。如果不能求出一个统一的 c c c，输出 − 1 -1 −1。
- 在求出了统一的 c c c 之后，对于每一个 a i > a i + 1 a_i > a_{i+1} ai>ai+1 的地方，可以求出 m = a i + c − a i + 1 m=a_i+c-a_{i+1} m=ai+c−ai+1。如果求出的 m m m 是统一的且 m > c m>c m>c，则输出 m m m 和 c c c，否则输出 − 1 -1 −1
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int Maxn=1e5+10;
int n,m,val;
int a[Maxn];
inline int read()
{
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return s*w;
}
bool check()
{
if(n==1)return 1;
bool flag=1;
for(int i=1;i<n;++i)
if(a[i]>a[i+1] || a[i]+m!=a[i+1])
{flag=0;break;}
if(flag)return 1;
flag=1;
for(int i=1;i<n;++i)
if(a[i]<=a[i+1]){flag=0;break;}
if(flag)
{
int tmp=a[1]-a[2];
for(int i=2;i<n;++i)
if(a[i]-a[i+1]!=tmp){flag=0;break;}
if(flag)return 1;
}
return 0;
}
int calc()
{
int tmp;
for(int i=1;i<n;++i)
{
if(a[i]<=a[i+1] && a[i]+m!=a[i+1])
return 0;
if(a[i]<=a[i+1])continue;
if((a[i]+m)-a[i+1]<=val)return 0;
tmp=(a[i]+m)-a[i+1];
}
for(int i=1;i<n;++i)
{
if(a[i]<=a[i+1])continue;
if(a[i]+m-a[i+1]!=tmp)return 0;
}
return tmp;
}
int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
int T=read();
while(T--)
{
n=read();
val=-1;
for(int i=1;i<=n;++i)
a[i]=read(),val=max(val,a[i]);
for(int i=1;i<n;++i)
if(a[i]<=a[i+1])m=a[i+1]-a[i];
if(check()){puts("0");continue;}
int tmp=calc();
if(!tmp){puts("-1");continue;}
printf("%d %d\n",tmp,m);
}
return 0;
}