写在前面

之前我已经介绍了有关代数学第一部分域扩张的简单总结, 今天重新听了一遍老师的复习课, 对之前内容的理解又有了加深, 所以赶紧趁热打铁总结一下, 增加一些高等代数中的有关概念, 以及域扩张中的一些基本定理的证明.

高等代数补充概念

1. 零化多项式:

   设 V V V是域 F F F上的线性空间(可以是无限维的), A \bf A A是 V V V上的一个线性变换(矩阵). 如果 F F F上的一元多项式 f ( x ) f(x) f(x)使得 f ( A ) = 0 f(\bf{A})=0 f(A)=0, 那么称 f ( x ) f(x) f(x)是 A \bf A A的一个零化多项式.

抽代定义

1. 代数元与单代数扩张

   设 E E E是域 F F F的扩张, α ∈ E \alpha\in E α∈E, 如果存在 F F F上的非零多项式 f ( x ) f(x) f(x),使得 f ( α ) = 0 f(\alpha)=0 f(α)=0, 那么 α \alpha α称为 F F F上的代数元(algebraic element). F ( α ) F(\alpha) F(α)称为 F F F上的一个单代数扩张.

2. 超越元和单超越扩张

   如果对于 F F F上任意一个非零多项式 g ( x ) g(x) g(x), 都有 g ( α ) ≠ 0 g(\alpha)\not=0 g(α)​=0, 那么称 α \alpha α为域 F F F上的一个超越元. 这时 F ( α ) F(\alpha) F(α)称为 F F F上的一个单超越扩张.

3. 极小多项式

   设 E E E是域 F F F的扩张, α ∈ Ｅ \alpha\in Ｅ α∈Ｅ是 F F F上的一个代数元, 那么 F [ x ] F[x] F[x]中使得 p ( α ) = 0 p(\alpha)=0 p(α)=0的次数最小的首1多项式
   p ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 p(x)=xn+an−1​xn−1+⋯+a0​
   叫做 α \alpha α在 F F F上的极小多项式.

基本引理

域扩张中极小多项式整除零化多项式

设 E E E是域 F F F的扩张, α ∈ Ｅ \alpha\in Ｅ α∈Ｅ是 F F F上的一个代数元, 如果 p ( x ) p(x) p(x)是 α \alpha α在 F F F上的极小多项式, f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)∈F[x]是 α \alpha α 的零化多项式, 则有 p ( x )   ∣   f ( x ) p(x)\,|\,f(x) p(x)∣f(x).

Pf:

由多项式的带余除法, 可设 f ( x ) = p ( x ) q ( x ) + r ( x ) f(x)=p(x)q(x)+r(x) f(x)=p(x)q(x)+r(x), 其中余式 r ( x ) r(x) r(x)等于零或不等于零, 且有 deg ⁡ p ( x ) > deg ⁡ r ( x ) \deg p(x)>\deg r(x) degp(x)>degr(x).

如果 r ( x ) ≠ 0 r(x)\ne0 r(x)​=0, 因为 r ( α ) = f ( α ) − p ( α ) q ( α ) = 0 r(\alpha)=f(\alpha)-p(\alpha)q(\alpha)=0 r(α)=f(α)−p(α)q(α)=0, 于是 r ( x ) r(x) r(x)也是 α \alpha α的零化多项式, 与 p ( x ) p(x) p(x)是极小多项式矛盾, 于是 r ( x ) = 0 r(x)=0 r(x)=0, p ( x )   ∣   f ( x ) p(x)\,|\,f(x) p(x)∣f(x).

域扩张主要内容

扩域可以看成子域上的线性空间, 这是理解扩域的一个基本的方法.

干域定义

干域(stem field, 也称为单扩张)

f ( x ) ∈ K [ x ] f(x)\in K[x] f(x)∈K[x]为 n n n次不可约多项式( n ⩾ 2 n\geqslant2 n⩾2), 必存在 K K K的扩域 L L L, 使得 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0在 L L L中至少有一个根, 则 K ( α ) K(\alpha) K(α)为 L L L中关于 K K K上不可约多项式 f f f的干域. 其中, [ K ( α ) : K ] = n [K(\alpha):K]=n [K(α):K]=n.

干域的存在唯一性

存在性

由加法和乘法构成域.

唯一性

不同单扩张之间互相同构. 这里的同构是通过域同态定义的.

设 f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)∈F[x]是一个首1不可约多项式, 若存在干域 E ( α ) E(\alpha) E(α), 考虑多项式环 F [ x ] F[x] F[x]上的满同态
F [ x ] → E g ( X ) ↦ g ( α ) \begin{aligned} F[x]&\to E\\ g(X)&\mapsto g(\alpha)\\ \end{aligned} F[x]g(X)​→E↦g(α)​
其核(kernel)由 f f f的一个非零首一多项式(亦即极小多项式)生成(需要用到环同态基本定理), 因此
F [ x ] → E x ↦ α w h e r e   F [ x ] = F [ X ] / ( f ) . \begin{aligned} F[x]&\to E\\ x&\mapsto \alpha\\ \end{aligned} \qquad where\,F[x]=F[X]/(f). F[x]x​→E↦α​whereF[x]=F[X]/(f).
f f f的干域 E ( α ) E(\alpha) E(α)与标准干域 F [ X ] / ( f ) ( x ) F[X]/(f)(x) F[X]/(f)(x)是 F − F- F−同构的.

不可约多项式 f f f可以写成:
a 0 + a 1 α + ⋯ + a m − 1 α m − 1 , a i ∈ F , m = deg ⁡ f . a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{m-1}\alpha^{m-1}, a_i\in F, m=\deg f. a0​+a1​α+⋯+am−1​αm−1,ai​∈F,m=degf.