【BZOJ】【1911】【APIO2010】特别行动队commando

2023-02-12 18:41:08

DP/斜率优化

　　嗯……第三道斜率优化的题目了。

　　定义 $s[i]=\sum_{k=1}^{i} x[k] $

　　方程：$f[i]=max\{ f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c \} $

　　对于 $ j > k $

　　若决策 j 比 k 更优：\[ \begin{aligned} {f[j] + a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c} &> {f[k]+a*(s[i]-s[k])^2+b*(s[i]-s[k])+c} \\ {f[j]-f[k]+a*(s[j]^2-s[k]^2)-b*(s[j]-s[k])} &> {2a*s[i]*(s[j]-s[k])} \\ \frac{ f[j]-f[k]+a*(s[j]^2-s[k]^2)-b*(s[j]-s[k]) } { 2a*(s[k]-s[j]) } &> {s[i]} \end{aligned} \]

 /**************************************************************

     Problem: 1911

     User: Tunix

     Language: C++

     Result: Accepted

     Time:1260 ms

     Memory:28616 kb

 ****************************************************************/

 //BZOJ 1911

 #include<cmath>

 #include<vector>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cstdlib>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)

 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)

 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)

 #define pb push_back

 using namespace std;

 int getint(){

     int v=,sign=; char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}

     return v*=sign;

 }

 const int N=1e6+;

 typedef long long LL;

 /******************tamplate*********************/

 LL f[N],x[N],s[N];

 int q[N],a,b,c;

 double slop(int k,int j){

     return double(f[j]-f[k]+a*(s[j]*s[j]-s[k]*s[k])+b*(s[k]-s[j]))/

         double(*a*(s[j]-s[k]));

 }

 int main(){

 #ifndef ONLINE_JUDGE

     freopen("1911.in","r",stdin);

     freopen("1911.out","w",stdout);

 #endif

     int n=getint();

     a=getint(),b=getint(),c=getint();

     F(i,,n){ x[i]=getint(); s[i]=s[i-]+x[i];}

     int l=,r=;

     F(i,,n){

         while(l<r && slop(q[l],q[l+])<s[i])l++;

         int t=q[l];

         f[i]=f[t]+a*((s[i]-s[t])*(s[i]-s[t]))+b*(s[i]-s[t])+c;

         while(l<r && slop(q[r-],q[r])>slop(q[r],i))r--;

         q[++r]=i;

     }

     printf("%lld\n",f[n]);

     return ;

 }