一、什么是逆元

　　当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

　　设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

　　则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

　　即a/b的模等于a*b的逆元的模；

　　逆元就是这样应用的；

 

二、求逆元的方法

　　那么逆元怎么求 ? 首先这里得纠正一点, 我们不能直接说一个数的逆元是多少, 
应该这么说: 一个数 x 在模 p的条件下的逆元是多少.(这点概念还是蛮重要的) 
其次,我们不难得知一个数的逆元有无穷多个,但是我们只需要求得一个数的最小正整数逆元就行了

　　另外,一个数 x 在模 p 的条件下不一定有逆元, x关于 p 的逆元存在 当且仅当 x 和 p 互质 
这里有一个推导: （设 a 为 x的逆元, b 为任意整数）

　　x∗a≡1(mod p)= 将p连入式子=> x∗a=1−b∗p => x∗a+b∗p=1

　　那么我们就得到了一组新方程: x∗a+b∗p=1 若x 和 p不互质, 则 x和 p 存在公约数 d=gcd(x,p)>1

　　提取出d, 得到: d(x/d∗a+p/d∗b)=1 移项得到: (x/d∗a+p/d∗b)=1/d

　　易知 x , p 能整除 d, 所以括号内定为整数, 又因为d>1 ,等式右边必为真分数, 等式无解

　　证毕

　　(1).费马小定理(证明)

　　内容：费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 

　　在是素数的情况下，对任意整数都有。 
　　如果无法被整除，则有。 
　　可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。

　　题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

　　所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

　　复杂度O(logn)；

　　x % p 中x的逆元为 quick_pow(x,p-2,p) x,y,mod （p是一个质数，而整数a不是p的倍数）

　　(2)扩展欧几里得算法求逆元

　　扩展欧几里得算法可以参考小白书；

　　百度百科-乘法逆元中有这样一个例子:

　　例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？ 　　4X≡1 mod 7 　　这个方程等价于求一个X和K，满足 　　4X=7K+1 　　其中X和K都是整数。

　　求x，k就是扩展欧几里得算法了吧~

　　可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；

　　复杂度：O(logn)；

　　x % p 中x的逆元　先扩欧计算出x值，ex_gcd(a,p,inv_a,y)，逆元则为inv_a 

　　(3) 求 1! ~ n! 的逆元

　　　　公式：inv[i]≡inv[i+1]?(i+1)(mod p)(inv[i]代表i！的逆元)

　　　　fac[i]∗inv[i]≡1(mod p)

　　　　fac[i+1]∗inv[i+1]≡1(mod p)=>fac[i]∗(i+1)∗inv[i+1]≡1(mod p)

　　　　由 同余的除法原理可得 : inv[i]≡inv[i+1]∗(i+1)

　　　　推导完毕

 

　　(4) 逆元线性筛 ( P为质数 )

　　　　求1,2,...,N关于P的逆元（P为质数）

　　　　公式：inv[i]≡inv[p%i]∗(−p/i)(mod p)

　　　　令 s=p/i,t=p%i, 则有：

　　　　s∗i+t=p (显然)

　　　　然后 s∗i+t≡0(mod p)

　　　　移项得 t≡−s∗i(mod p)

　　　　同除以 t∗i得t/(t∗i)≡−s∗i/(t∗i)(mod p)

　　　　将除法转化为乘法 => inv[i]≡−s∗inv[t](mod p)

　　　　于是将 s=p/i,t=p%i带入就可以得到: inv[i]≡inv[p%i]∗(−p/i)(mod p)

　　　　推导完毕

　　　　复杂度：O(N)

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