最小生成树
性质：n个节点生成的最小生成树有n-1条边 & 最小生成树里多加一条边能生成含该边的一个环
构造方法：Prim算法 & Kruskal算法
一、Prim算法：逐个点连通的方式构造最小生成树（时间复杂度O(n*n)，适合稠密图）
稀疏图&稠密图：有很少条边或弧（边的条数|E|远小于|V|²）的图称为稀疏图（sparse graph），反之边的条数|E|接近|V|²，称为稠密图（dense graph）。
Prim算法是从一个点开始，在给的无向图中寻找这个点所连接的权值最小的边，并在树中连接这条边，再寻找树中节点在无向图连接的权值最小的边，找到之后要判断这条边是否会构成一个环，最小生成树中是不能出现环的。
下图的例子：①从点1开始，权值最小的边是（1,3），权值为1，连接；②点1和点3在原始无向图中权值最小的边是（3,6），权值为4，连接；③从点1、点3和点6中权值最小的边是（6,4），权值为2连接；④在点1、3、6、4中权值最小的边是（4,1）和（3,2），权值都为5，但是（4,1）连接后会构成环，所以不能连接（4,1）；⑤再找点1、3、6、4、2中权值最小的边，连接（2,5），完成最小生成树的构造。
代码如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int map[101][101];
void prim() //最小生成树 prim算法
{
cout<<"prim:"<<endl;
int lowcost[101]; //lowcost[i]存树中点到i点的边的权值最小为多少 => 为多少？
int closest[101]; //closest[i]存放树中哪个点到i点的边的权值最小 => 是哪个？
bool s[101];
s[1] = true; //选择1为树顶
int i,j,k;
for(i=2;i<=n;i++) //初始化lowcost和s
{
lowcost[i] = map[1][i];
s[i] = false;
closest[i] = 1;
}
int min;
for(i=1;i<n;i++) //最小生成树只有n-1条边
{
min = 100000;
k = 1;
for(j=2;j<=n;j++) //找最小边
{
if((lowcost[j]<min)&&(!s[j]))
{
min = lowcost[j];
k = j;
}
}
cout<<closest[k]<<","<<k<<":"<<min<<endl;
s[k] = true;
for(j=2;j<=n;j++)
{
if((map[k][j]<lowcost[j])&&(!s[j])) //如果新的结点到j的边比原来的结点到j的边小，就用新结点替换掉原结点
{
lowcost[j] = map[k][j];
closest[j] = k;
}
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int i,a,b,tem;
memset(map,0x3f,sizeof(map)); //memset要用0x3f
for(i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b;
cin>>tem;
map[a][b] = tem;
map[b][a] = tem;
}
prim();
return 0;
}
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运行结果：
二、Kruskal算法：按权值递增的顺序选择合适的边构造最小生成树（时间复杂度O(eloge)，适合稀疏图）
PS：有很少条边或弧（边的条数|E|远小于|V|²）的图称为稀疏图（sparse graph），反之边的条数|E|接近|V|²，称为稠密图（dense graph）。
先找出权值最小的边，将两个点连接，再找权值第二小的边，判断连接这两个点是否会形成环，如果不会就连接，如果会就不连接。
下图的例子：①权值最小边（1,3）连接；②剩下的权值最小边（4,6），判断不会形成环，连接；③剩下的权值最小边（2,5），判断不会形成环，连接；④剩下的权值最小边（3,6），判断不会形成环，连接；⑤剩下的权值最小边只有（3,2）不会形成环，连接。
代码实现：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int pre[101];
int u[101],v[101],edge[101]; //u,v分别为两个点，edge为两个点之间的边
int m,n;
int find(int x)
{
int root = x;
while(pre[root]!=root)
root = pre[root];
//路径压缩
int i,j;
i = x;
while(pre[i]!=root)
{
j = i;
i = pre[i];
pre[j] = root;
}
return root;
}
void kruskal() //最小生成树，Kruskal算法
{
cout<<"Kruskal:"<<endl;
int i,total,min,minnum,fu,fv;
total = n-1;
while(total>0)
{
min = 10000000;
for(i=1;i<=m;i++) //找最小值
{
if(u[i] == -1||v[i] == -1)
continue;
if(edge[i]<min)
{
min = edge[i];
minnum = i;
}
}
fu = find(u[minnum]);
fv = find(v[minnum]);
if(fu!=fv) //不连通,就连接两个点
{
cout<<u[minnum]<<","<<v[minnum]<<":"<<edge[minnum]<<endl;
pre[fu] = fv;
total--;
}
edge[minnum] = 100000000; //改变已经找到的最小值
u[minnum] = -1;
v[minnum] = -1;
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int i,a,b,tem;
for(i=1;i<=n;i++)
pre[i] = i;
for(i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b;
cin>>tem;
u[i] = a;
v[i] = b;
edge[i] = tem;
}
kruskal();
return 0;
}
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运行结果：
Kruskal算法所需的计算时间为O（eloge）
参考：王晓东《算法设计与分析》
https://blog.csdn.net/crystal_viv/article/details/79571545