如何使用netwokx进行复杂网络的中心性分析？
这是本学期在大数据哲学与社会科学实验室做的第七次分享了。
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本次分享的是“如何使用netwokx进行复杂网络的中心性分析？”
1. networkx概述
networkx是用python语言编写的软件包，便于用户对复杂网络进行创建、操作和学习。
利用networkx可以以标准化和非标准化的数据格式存储网络、生成多种随机网络和经典网络、分析网络结构、建立网络模型、设计新的网络算法、进行网络绘制等。
使用pip安装当前版本的networkx：
pip install networkx
升级到最新版本，使用–upgrade标签：
pip install --upgrde networkx
查看本地networkx是否成功安装，可在命令提示符中输入：
pip show networkx
如果出现以下内容，则安装成功。
Name: networkx
Version: 2.5.1
Summary: Python package for creating and manipulating graphs and networks
Home-page: http://networkx.github.io/
Author: Aric Hagberg
Author-email: hagberg@lanl.gov
License: UNKNOWN
Location: c:\programdata\anaconda3\lib\site-packages
Requires: decorator
Required-by: scikit-image
Github地址：
https://github.com/networkx/networkx
官方学习文档：
https://networkx.github.io/documentation/latest/_downloads/networkx_reference.pdf
2. 基本理论
网络由节点（node）和连接它们的边（edge）构成。
例如，微信好友的关系是相互的，如果我是你的好友，你也是我的好友。这样的网络称为无向网络（undirected graph/network）。但超链接并非如此，如果我的网站可以链接到*，并不表示*会链接到我的网站。这样的网络称为有向网络（directed graph/network）。
在图论和网络分析中，中心性（Centrality）是判断网络中节点重要性/影响力的指标。在社会网络分析中，一项基本的任务就是鉴定一群人中哪些人比其他人更有影响力，从而帮助我们理解他们在网络中扮演的角色。
那么，什么样的节点是重要的呢？
对节点重要性的解释有很多，不同的解释下判定中心性的指标也有所不同。
通常在中心性的分析角度上有两种出发点：中心度和中心势。
中心度：表示一个节点在网络中处于核心地位的程度；中心势：表示整个图的紧密程度。换句话说，度表示单个节点的性质，而势表示整个图的性质。
2.1 点度中心性（degree centrality）
在无向网络中，我们可以用一个节点的度数（相当于你的微信好友数）来衡量中心性。在微博中，刘德华的粉丝数9千多万，他的点度中心性就很高。
这一指标背后的假设是：重要的节点就是拥有许多连接的节点。你的社会关系越多，你的影响力就越强。
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
G = nx.Graph()
G.add_nodes_from(['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'])
G.add_edges_from([('A', 'B'), ('A', 'C'), ('A', 'D'),
('B', 'C'), ('B', 'D'), ('C', 'D'),
('D', 'E'), ('D', 'F'), ('D', 'G'),
('E', 'F'), ('E', 'G'), ('F', 'G')])
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True)
plt.show()
在上面的蝴蝶结网络中，节点 D D D的连接数是6，和网络中的所有人都建立了直接联系，其它节点的连接数都是3，因此节点 D D D的点度中心性最高。整个网络一共有7个节点，意味着每个人最多可以有6个社会关系。因此，节点 D D D的点度中心性是6/6=1，其它节点的点度中心性是3/6=0.5。
d c ( v ) = d e g r e e ( v ) n − 1 dc(v)=\frac{degree(v)}{n-1} dc(v)=n−1degree(v)
2.2 中介中心性（betweenness centrality）
网络中两个非相邻成员之间的相互作用依赖于其它成员，特别是两成员之间路径上的那些成员。他们对两个非相邻成员之间的相互作用具有控制和制约作用。Freeman （1979）认为中间成员对路径两端的成员具有“更大的人际关系影响”。因此，中介中心性的思想是：如果一个成员位于其它成员的多条最短路径上，那么该成员就是核心成员，就具有较大的中介中心性。
计算网络中任意两个节点的所有最短路径，如果这些最短路径中很多条都经过了某个节点，那么就认为这个节点的中介中心性高，这个指标考察的是节点对于其它节点信息传播的控制能力。换句话说，就是这个节点相当于一个闸，和它相连的节点想要得到其它节点都得经过它。
G = nx.Graph()
G.add_nodes_from(['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'])
G.add_edges_from([('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C'),
('B', 'D'), ('D', 'E'), ('E', 'F'),
('E', 'G'), ('F', 'G')])
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True)
plt.show()
假设我们要计算节点 D D D的中介中心性。
首先，我们计算节点 D D D之外，所有节点对之间的最短路径有多少条，这里是15条（在6个节点中选择两个节点即节点对的个数）。
然后，我们再看所有这些最短路径中有多少条经过节点 D D D，例如节点 A A A要想找到节点 E E E，必须经过节点 D D D。经过节点 D D D的最短路径有9条。
最后，我们用经过节点 D D D的最短路径除以所有节点对的最短路径总数，这个比率就是节点 D D D的中介中心性。节点 D D D的中介中心性是9/15=0.6。
b s ( v ) = ∑ s ≠ t ≠ v ∈ V d s t ( v ) d s t bs(v)=\sum_{s\neq t\neq v\in V}\frac{d_{st}(v)}{d_{st}} bs(v)=s=t=v∈V∑dstdst(v)
- d s t dst dst表示 s s s到 t t t的最短路径条数。
- d s t ( v ) dst(v) dst(v)表示从 s s s到t的最短路径中经过节点 v v v的条数。
Maksim Tsvetovat&Alexander Kouznetsov在《社会网络分析》一书中有两个例子：
- 鲍勃徘徊在两个女人之间，他贪恋爱丽丝的美丽和谈吐，亦无法舍弃卡若琳娜的乐天和无忧无虑。但他必须小心谨慎，生怕自己在其中任何一个人面前露馅，这样的关系充满了压力和焦虑。
- 银行家以5%的利率接受A公司的存款，以7%的利率贷款给B公司，这样的关系给银行家带来了巨大的利益。它的前提是，市场中的A公司和B公司不能直接接触，或至少无法轻易地找到对方。
鲍勃和银行家的故事尽管截然不同，但他们都处于一种被称为被禁止的三元组(forbidden triad)的关系中，需要确保三元组的末端不能直接联系。没有联系就像网络中出现了一个洞，因此也被称为结构洞。
2.3 接近中心性（closeness centrality）
点度中心性仅仅利用了网络的局部特征，即节点的连接数有多少，但一个人连接数多，并不代表他/她处于网络的核心位置。接近中心性和中介中心性一样，都利用了整个网络的特征，即一个节点在整个结构中所处的位置。如果节点到图中其它节点的最短距离都很小，那么它的接近中心性就很高。相比中介中心性，接近中心性更接近几何上的中心位置。
接近中心性反应某一节点与其它节点之间的接近程度。
假设我们要计算节点 D D D的接近中心性，首先我们计算从节点 D D D到所有其它节点的最短距离。从图中可以判断，节点 D D D到所有其它节点的距离均为1，距离之和为6。因此，节点 D D D的接近中心性为(7-1)/6=1。分子为网络中节点总数减去1。也就是说，如果一个人可以直接跟网络中所有其他人联系，那么他/她的接近中心性就是1。对于其它节点，如节点 A A A的接近中心性为(7-1)/9=0.667。
接近中心性高的节点一般扮演的是八婆的角色（gossiper）。他们不一定是名人，但是乐于在不同的人群之间传递消息。
cc(v)=\frac{n-1}{\sum_{v\neq u}{d_{vu}}}
2.4 特征向量中心性（eigenvector centrality）
特征向量中心性的基本思想是，一个节点的中心性是相邻节点中心性的函数。也就是说，与你连接的人越重要，你也就越重要。
特征向量中心性和点度中心性不同，一个点度中心性高，即拥有很多连接的节点，特征向量中心性不一定高，因为所有的连接者有可能特征向量中心性很低。同理，特征向量中心性高并不意味着它的点度中心性高，它拥有很少但很重要的连接者也可以拥有高特征向量中心性。
考虑下面的图，以及相应的 5 × 5 5\times 5 5×5的邻接矩阵（Adjacency Matrix）， A A A。
邻接矩阵的含义是，如果两个节点没有直接连接，记为0，否则记为1。
现在考虑 x x x，一个 5 × 1 5\times 1 5×1的向量，向量的值对应图中的每个点。在这种情况下，我们计算的是每个点的点度中心性（degree centrality），即以点的连接数来衡量中心性的高低。
矩阵 A A A乘以这个向量的结果是一个 5 × 1 5\times 1 5×1的向量：
A x = [ 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 ] [ 3 2 3 3 1 ] = [ 8 6 8 7 3 ] Ax= \begin{bmatrix} 0&1&1&1&0\\ 1&0&1&0&0\\ 1&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 3\\ 3\\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8\\ 6\\ 8\\ 7\\ 3\\ \end{bmatrix} Ax=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0111010100110101010100010⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡32331⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡86873⎦⎥⎥⎥⎥⎤
结果向量的第一个元素是用矩阵 A A A的第一行去“获取”每一个与第一个点有连接的点的值（连接数，点度中心性），也就是第2个、第3个和第4个点的值，然后将它们加起来。
我们继续用矩阵 A A A乘以结果向量。如何理解呢？实际上，我们允许这一中心性数值再次沿着图的边界“扩散”。我们会观察到两个方向上的扩散（点既给予也收获相邻节点）。我们猜测，这一过程最后会达到一个平衡，特定点收获的数量会和它给予相邻节点的数量取得平衡。既然我们仅仅是累加，数值会越来越大，但我们最终会到达一个点，各个节点在整体中的比例会保持稳定。
我们认为，图中的点存在一个数值集合，对于它，用矩阵 A A A去乘不会改变向量各个数值的相对大小。也就是说，它的数值会变大，但乘以的是同一个因子。用数学符号表示就是：
x ( t + 1 ) = c A x ( t ) x(t+1)=cAx(t) x(t+1)=cAx(t)
A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx
满足这一属性的向量就是矩阵 A A A的特征向量。特征向量的元素就是图中每个点的特征向量中心性。
3. 克拉克哈特风筝社交网络分析
绘制克拉克哈特风筝社交网络
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
G = nx.krackhardt_kite_graph()
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True)
plt.show()
显示图的基本信息
print(nx.nodes(G))
# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
print(nx.number_of_nodes(G)) # 10
print(nx.edges(G))
# [(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 5), (1, 3), (1, 4),
# (1, 6), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
# (4, 6), (5, 6), (5, 7), (6, 7), (7, 8), (8, 9)]
print(nx.number_of_edges(G)) # 18
print(nx.adjacency_matrix(G))
# (0, 1) 1
# (0, 2) 1
# (0, 3) 1
# (0, 5) 1
# (1, 0) 1
# (1, 3) 1
# (1, 4) 1
# (1, 6) 1
# (2, 0) 1
# (2, 3) 1
# (2, 5) 1
# (3, 0) 1
# (3, 1) 1
# (3, 2) 1
# (3, 4) 1
# (3, 5) 1
# (3, 6) 1
# (4, 1) 1
# (4, 3) 1
# (4, 6) 1
# (5, 0) 1
# (5, 2) 1
# (5, 3) 1
# (5, 6) 1
# (5, 7) 1
# (6, 1) 1
# (6, 3) 1
# (6, 4) 1
# (6, 5) 1
# (6, 7) 1
# (7, 5) 1
# (7, 6) 1
# (7, 8) 1
# (8, 7) 1
# (8, 9) 1
# (9, 8) 1
A = nx.to_numpy_matrix(G)
print(A)
# [[0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0.]
# [1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0.]
# [1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0.]
# [1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0.]
# [0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0.]
# [1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0.]
# [0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0.]
# [0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0.]
# [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1.]
# [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0.]]
dic = dict((x, list(nx.neighbors(G, x))) for x in nx.nodes(G))
print(dic)
# {0: [1, 2, 3, 5], 1: [0, 3, 4, 6], 2: [0, 3, 5],
# 3: [0, 1, 2, 4, 5, 6], 4: [1, 3, 6], 5: [0, 2, 3, 6, 7],
# 6: [1, 3, 4, 5, 7], 7: [5, 6, 8], 8: [7, 9], 9: [8]}
中心性分析
deg_cen = nx.degree_centrality(G)
print(deg_cen)
# {0: 0.4444444444444444, 1: 0.4444444444444444, 2: 0.3333333333333333,
# 3: 0.6666666666666666, 4: 0.3333333333333333, 5: 0.5555555555555556,
# 6: 0.5555555555555556, 7: 0.3333333333333333, 8: 0.2222222222222222,
# 9: 0.1111111111111111}
bet_cen = nx.betweenness_centrality(G)
print(bet_cen) #
# {0: 0.023148148148148143, 1: 0.023148148148148143, 2: 0.0,
# 3: 0.10185185185185183, # 4: 0.0, 5: 0.23148148148148148, 6: 0.23148148148148148,
# 7: 0.38888888888888884, 8: 0.2222222222222222, 9: 0.0}
clo_cen = nx.closeness_centrality(G)
print(clo_cen)
# {0: 0.5294117647058824, 1: 0.5294117647058824, 2: 0.5,
# 3: 0.6, 4: 0.5, 5: 0.6428571428571429, 6: 0.6428571428571429,
# 7: 0.6, 8: 0.42857142857142855, 9: 0.3103448275862069}
eig_cen = nx.eigenvector_centrality(G)
print(eig_cen)
# {0: 0.35220898139203594, 1: 0.35220898139203594, 2: 0.2858347353163241,
# 3: 0.4810204881221006, 4: 0.2858347353163241, 5: 0.3976910106255469,
# 6: 0.3976910106255469, 7: 0.19586185175360382, 8: 0.04807477501420294,
# 9: 0.011164058575824238}
4. 总结
- 点度中心性：一个人的社会关系越多，他/她就越重要。
- 中介中心性：如果一个成员处于其他成员的多条最短路径上，那么该成员就是核心成员。
- 接近中心性：一个人跟所有其他成员的距离越近，他/她就越重要。
- 特征向量中心性：与你连接的人社会关系越多，你就越重要。
参考文献：
- https://blog.csdn.net/yyl424525/article/details/103108506
- https://blog.csdn.net/ztf312/article/details/107711916
- https://blog.csdn.net/teacherfbj/article/details/106165429