逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础

 

逻辑回归(Logistic Regression, LR)模型其实仅在线性回归的基础上,套用了一个逻辑函数,但也就由于这个逻辑函数,使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星,更是计算广告学的核心。本文主要详述逻辑回归模型的基础,至于逻辑回归模型的优化、逻辑回归与计算广告学等,请关注后续文章。

逻辑回归模型

回归是一种极易理解的模型,就相当于y=f(x),表明自变量x与因变量y的关系。最常见问题有如医生治病时的望、闻、问、切,之后判定病人是否生病或生了什么病,其中的望闻问切就是获取自变量x,即特征数据,判断是否生病就相当于获取因变量y,即预测分类。

最简单的回归是线性回归,在此借用Andrew NG的讲义,有如图1.a所示,X为数据点——肿瘤的大小,Y为观测值——是否是恶性肿瘤。通过构建线性回归模型,如hθ(x)所示,构建线性回归模型后,即可以根据肿瘤大小,预测是否为恶性肿瘤hθ(x)≥.05为恶性,hθ(x)<0.5为良性。

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图1 线性回归示例

然而线性回归的鲁棒性很差,例如在图1.b的数据集上建立回归,因最右边噪点的存在,使回归模型在训练集上表现都很差。这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致,而分类范围,需要在[0,1]。逻辑回归就是一种减小预测范围,将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型,其回归方程与回归曲线如图2所示。逻辑曲线在z=0时,十分敏感,在z>>0或z<<0处,都不敏感,将预测值限定为(0,1)。

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础图2 逻辑方程与逻辑曲线

逻辑回归其实仅为在线性回归的基础上,套用了一个逻辑函数,但也就由于这个逻辑函数,逻辑回归成为了机器学习领域一颗耀眼的明星,更是计算广告学的核心。对于多元逻辑回归,可用如下公式似合分类,其中公式(4)的变换,将在逻辑回归模型参数估计时,化简公式带来很多益处,y={0,1}为分类结果。逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础

对于训练数据集,特征数据x={x1, x2, … , xm}和对应的分类数据y={y1, y2, … , ym}。构建逻辑回归模型f(θ),最典型的构建方法便是应用极大似然估计。首先,对于单个样本,其后验概率为:

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础    那么,极大似然函数为:

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础    log似然是:

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梯度下降

由第1节可知,求逻辑回归模型f(θ),等价于:

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础    采用梯度下降法:

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础     从而迭代θ至收敛即可:

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模型评估

对于LR分类模型的评估,常用AUC来评估,关于AUC的更多定义与介绍,可见参考文献2,在此只介绍一种极简单的计算与理解方法。

对于下图的分类:

逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础     对于训练集的分类,训练方法1和训练方法2分类正确率都为80%,但明显可以感觉到训练方法1要比训练方法2好。因为训练方法1中,5和6两数据分类错误,但这两个数据位于分类面附近,而训练方法2中,将10和1两个数据分类错误,但这两个数据均离分类面较远。

AUC正是衡量分类正确度的方法,将训练集中的label看两类{0,1}的分类问题,分类目标是将预测结果尽量将两者分开。将每个0和1看成一个pair关系,团中的训练集共有5*5=25个pair关系,只有将所有pair关系一至时,分类结果才是最好的,而auc为1。在训练方法1中,与10相关的pair关系完全正确,同样9、8、7的pair关系也完全正确,但对于6,其pair关系(6,5)关系错误,而与4、3、2、1的关系正确,故其auc为(25-1)/25=0.96;对于分类方法2,其6、7、8、9的pair关系,均有一个错误,即(6,1)、(7,1)、(8,1)、(9,1),对于数据点10,其正任何数据点的pair关系,都错误,即(10,1)、(10,2)、(10,3)、(10,4)、(10,5),故方法2的auc为(25-4-5)/25=0.64,因而正如直观所见,分类方法1要优于分类方法2。

参考文献:

1  Andrew NG. Logistic Regression Classification

http://www.cnblogs.com/guolei/archive/2013/05/23/3095747.html

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只能永远把艰辛的劳动看作是生命的必要;即使没有收获的指望,也能心平气和的继续耕种。
 
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