正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1119H
题目大意
n n n个可重集，第 i i i个里有 x x x个 a i a_i ai， y y y个 b i b_i bi， z z z个 c i c_i ci。
对于每个 t ∈ [ 0 , 2 k ) t\in[0,2^k) t∈[0,2k)求每个集合里取出一个数使它们异或起来等于 t t t的方案数。
解题思路
如果直接 n n n个东西 F W T FWT FWT起来肯定过不了，我们需要根据每个集合里只有三种数这个性质来优化。
因为是 x o r xor xor卷积，所以第 i i i个位置 F W T FWT FWT之后对 j j j造成的影响是 ( − 1 ) c n t ( i & j ) (-1)^{cnt(i\&j)} (−1)cnt(i&j)（其中 c n t ( x ) cnt(x) cnt(x)表示 x x x在二进制下 1 1 1的个数）
那么就有
F
W
T
(
S
i
)
=
∑
i
=
1
2
k
−
1
(
−
1
)
c
n
t
(
j
&
a
i
)
x
+
(
−
1
)
c
n
t
(
j
&
b
i
)
y
+
(
−
1
)
c
n
t
(
j
&
b
i
)
z
FWT(S_i)=\sum_{i=1}^{2^k-1}(-1)^{cnt(j\&a_i)}x+(-1)^{cnt(j\& b_i)}y+(-1)^{cnt(j\&b_i)}z
FWT(Si)=i=1∑2k−1(−1)cnt(j&ai)x+(−1)cnt(j&bi)y+(−1)cnt(j&bi)z
现在我们就可以单独考虑每个
x
,
y
,
z
x,y,z
x,y,z的贡献了，然后每个
F
W
T
(
S
i
)
[
j
]
FWT(S_i)[j]
FWT(Si)[j]有
8
8
8个状态，为了方便我们缩减一下状态先。
首先我们先让所有的 x x x都取到，也就是让所有的 b i = b i x o r a i , c i = c i x o r a i b_i=b_i\ xor\ a_i,c_i=c_i\ xor\ a_i bi=bi xor ai,ci=ci xor ai，然后询问答案的时候我们再异或上一个 a a a的异或和即可。
现在每个 F W T ( S i ) [ j ] FWT(S_i)[j] FWT(Si)[j]有 4 4 4种状态，分别是 ( x + y + z ) , ( x + y − z ) , ( x − y + z ) , ( x − y − z ) (x+y+z),(x+y-z),(x-y+z),(x-y-z) (x+y+z),(x+y−z),(x−y+z),(x−y−z)。定义这些状态数量分别为 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 a_1,a_2,a_3,a_4 a1,a2,a3,a4
我们先考虑集合 i i i的每种状态中 y y y的影响 F i F_i Fi，有 F i [ k ] = c n t ( k & a i ) F_i[k]=cnt(k\& a_i) Fi[k]=cnt(k&ai)，而所有集合的影响和就是 ∑ i = 1 n F i \sum_{i=1}^nF_i ∑i=1nFi。设 G i = I F W T ( F i ) G_i=IFWT(F_i) Gi=IFWT(Fi)那么显然有 G i [ b i ] = 1 G_i[b_i]=1 Gi[bi]=1其他都为 0 0 0。
然后影响和就是
∑
i
=
1
n
F
W
T
(
G
i
)
=
F
W
T
(
∑
i
=
1
n
G
i
)
\sum_{i=1}^nFWT(G_i)=FWT(\sum_{i=1}^nG_i)
i=1∑nFWT(Gi)=FWT(i=1∑nGi)
所以直接把
G
G
G都加起来然后
F
W
T
FWT
FWT就好了，定义
y
y
y的影响为
c
1
c_1
c1。
然后再同理搞出
z
z
z和
y
+
z
y+z
y+z的影响，分别为
c
2
,
c
3
c_2,c_3
c2,c3，那么就有方程组
{
a
1
+
a
2
+
a
3
+
a
4
=
n
a
1
+
a
2
−
a
3
−
a
4
=
c
1
a
1
−
a
2
+
a
3
−
a
4
=
c
2
a
1
−
a
2
−
a
3
+
a
4
=
c
3
\left\{\begin{matrix} a_1+a_2+a_3+a_4=n\\ a_1+a_2-a_3-a_4=c_1\\ a_1-a_2+a_3-a_4=c_2\\ a_1-a_2-a_3+a_4=c_3 \end{matrix}\right.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a1+a2+a3+a4=na1+a2−a3−a4=c1a1−a2+a3−a4=c2a1−a2−a3+a4=c3
解出来就好了，然后用快速幂算出来
F
=
∏
i
=
1
n
F
W
T
(
S
i
)
F=\prod_{i=1}^nFWT(S_i)
F=∏i=1nFWT(Si)，求一遍
I
F
W
T
(
F
)
IFWT(F)
IFWT(F)即可。
时间复杂度 O ( 2 k k + n log ( x + y + z ) ) O(\ 2^kk+n\log(x+y+z)\ ) O( 2kk+nlog(x+y+z) )
c o d e code code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
const ll inv2=(P+1)/2;
ll n,k,x,y,z,xs;
ll f1[N],f2[N],f3[N],f[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;x%=P;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void FWT(ll *f,ll n,ll op){
for(ll p=2;p<=n;p<<=1)
for(ll k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll x=f[i],y=f[i+len];
if(op==1){
f[i]=x+y;
f[i+len]=x-y;
}
else{
f[i]=(x+y)*inv2%P;
f[i+len]=(x-y)*inv2%P;
}
}
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);k=1<<k;
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
for(ll i=1;i<=n;i++){
ll a,b,c;
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
xs^=a;b^=a;c^=a;
f1[b]++;f2[c]++;f3[b^c]++;
}
FWT(f1,k,1);FWT(f2,k,1);FWT(f3,k,1);
for(ll i=0;i<k;i++){
ll c1=f1[i],c2=f2[i],c3=f3[i];
ll a1,a2,a3,a4;
a4=(c3-c1-c2+n)/4;
a3=-(c1-n+2ll*a4)/2;
a2=-(c2-n+2ll*a4)/2;
a1=n-a2-a3-a4;
f[i]=power(x+y+z,a1)%P*power(x+y-z,a2)%P;
f[i]=f[i]*power(x-y+z,a3)%P*power(x-y-z,a4)%P;
}
FWT(f,k,-1);
for(ll i=0;i<k;i++)
printf("%lld ",(f[i^xs]+P)%P);
return 0;
}