一、图基本介绍
1,为什么要有图
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时, 这里我们就用到了图
2,图的举例说明
图是一种数据结构,其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图:
3,图中常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图
-
- 顶点之间的连接没有方向,比如A-B,即可以是 A-> B 也可以 B->A
- 路径:比如从 D -> C 的路径有:D->B->C,D->A->B->C
- 有向图:顶点之间的连接有方向,比如A-B,只能是 A-> B 不能是 B->A
- 带权图:这种边带权值的图也叫网
二、图的表示方式
图的表示方式有两种:二维数组(邻接矩阵);链表(邻接表)
1,邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于n个顶点的图而言,矩阵的row和col是表示的1...n个点
2,邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间,其实依旧很多边是不存在,会造成空间的一定损失
- 邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成
三、图的代码实现
源码:图的代码实现
1,创建
a)思路
b)代码实现
- vertexList :存储顶点集合 (ArrayList)
- edges :邻结矩阵(二维数组)
- numOfEdges :边的数目(每添加一条边,numOfEdges 加一)
class Graph { private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合 private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; //表示边的数目 //构造器 public Graph(int n) { //初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } //添加边 /** * * @param v1 第二个顶点对应的下标 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示权值,0:不连接;1:连接 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } //图中常用的方法 //返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } // 得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } // 返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } // 显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } }View Code
public static void main(String[] args) { String[] arr = {"A", "B", "C", "D", "E"}; Graph graph = new Graph(arr.length); //添加顶点 for (String ver : arr) { graph.insertVertex(ver); } /* * 添加边 * 0 1 1 0 0 * 1 0 1 1 1 * 1 1 0 0 0 * 0 1 0 0 0 * 0 1 0 0 0 * * A-B A-C B-C B-D B-E */ graph.insertEdges(0,1,1); graph.insertEdges(0,2,1); graph.insertEdges(1,2,1); graph.insertEdges(1,3,1); graph.insertEdges(1,4,1); graph.show(); }
2,图的深度优先遍历
a)思想
- 深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点, 可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然,深度优先搜索是一个递归的过程
b)实现步骤
1)访问初始结点 v,并标记结点 v 为已访问。 2) 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。 3) 若 w 存在,则继续执行 4,如果 w 不存在,则回到第 1 步,将从 v 的下一个结点继续。 4) 若 w 未被访问,对 w 进行深度优先遍历递归(即把 w 当做另一个 v,然后进行步骤 123)。 5) 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤 3。c)代码实现
/** * 深度优先 */ public void dfs() { isvisited = new boolean[numOfEdges]; for (int i = 0; i < getVertexSize(); i++) { if (!isvisited[i]) { dfs(i); } } System.out.println(); } /** * 深度优先遍历 * 1,定义初始访问结点索引v,打印结点值并标记当前已访问 * 2,在矩阵中以v为行,找到第一个邻接结点w * 3,判定当这个邻接结点w存在 * 如果这个邻接结点w未被访问,则令v为w循环调用遍历走1-2-3。(递归调用) * 如果这个邻接结点w已经被访问,则查找v行w列的下一个邻接结点为w * 4,判定这个邻接结点w不存在,则需要从下一个结点v开始从新寻找 */ public void dfs(int v) { //访问初始结点 System.out.print(getVertexVal(v) + "->"); isvisited[v] = true; int w = getFirstNeighbor(v); while (w != -1) { if (!isvisited[w]){ dfs(w); } w = getNextNeighbor(v, w); } } /** * 获取第一个邻接结点的下标 : 不存在返回-1 * @param index 固定的行号,查找与行号对应的列>0的下标(第一个) */ public int getFirstNeighbor(int index) { for (int i = 0; i < getVertexSize(); i++) { if (edges[index][i] > 0) { return i; } } return -1; } /** * 查找下一个邻接结点的下标 */ public int getNextNeighbor(int v1,int v2) { for (int i = v2 +1; i < getVertexSize(); i++) { if (edges[v1][i] >0) { return i; } } return -1; }
3,图的广度优先遍历
a)思想
1) 图的广度优先搜索(Broad First Search) ,对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。 2) 类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点b)实现步骤
1) 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。 2) 结点 v 入队列 3) 当队列非空时,继续执行,否则算法结束。 4) 出队列,取得队头结点 u。 5) 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。 6) 若结点 u 的邻接结点 w 不存在,则转到步骤 3;否则循环执行以下三个步骤: 6.1 若结点 w 尚未被访问,则访问结点 w 并标记为已访问。 6.2 结点 w 入队列 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w,转到步骤 6。c)代码实现
/** * 广度优先遍历 */ public void bfs() { isvisited = new boolean[numOfEdges]; for (int i = 0; i < getVertexSize(); i++) { if (!isvisited[i]) { bfs(i); } } System.out.println(); } public void bfs(int v) { int u ; // 表示队列的头结点对应下标 int w ; // 邻接结点 w LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>(); System.out.print(getVertexVal(v) + "->"); isvisited[v] = true; list.addLast(v); while (!list.isEmpty()) { u = list.removeFirst(); w = getFirstNeighbor(u); if (w != -1) { if (!isvisited[w]) { System.out.print(getVertexVal(w) + "->"); isvisited[w] = true; list.addLast(w); } w = getNextNeighbor(u, w); } } }