数据结构与算法-168~171-普利姆算法(Prim)

2023-02-11 07:51:50

168 普利姆算法（Prim）和介绍

修路问题

有胜利乡有7个村庄（A、B、C、D、E、F、G），现在需要修路把7个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离5公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？
思路：将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小的

正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证决里程数最小

最小生成树
修路问题本质就是最小生成树问题，最小生成树**（Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST**

给定一个带权的无向连通图，如何选取一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
N 个顶点，一定有 N -1 条边
包含全部顶点
N - 1 条边都在图中
例：求最小生成树的算法主要是 普里姆算法和克鲁斯卡算法

169 Prim 算法解决修路问题思路图解

介绍

普利姆（Prim）算法求最小生成树，也就是包含n个顶点的连通图中，找出只有（n - 1）条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆算法如下：
1. 高 G = （V，E）是连通网；T = （U，D）是最小生成树；V，U是顶点集合；E，D是边的集合
2. 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合v中取出顶点u放入集合U中，西厢记顶点v的 visited[u] = 1;
3. 若集合U中顶点 ui 集合 V-U 中的顶点 vj 之间的存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj] = 1
4. 重复步骤2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n - 1 条边
5. **提示：**单独看步骤很难理解，通过代码理解，比较好理解

170 Prim算法解决修路问题生成图

package com.old.prim_168_171;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        //测试图是否创建成功
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G',};

        int verxs = data.length;

        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 7, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},
        };

        //创建图
        Mgraph graph = new Mgraph(verxs);

        //创建MinTree
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        minTree.showGraph(graph);

    }


}

//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
    //创建图的邻接距阵

    /**
     * @param graph  图对象
     * @param verxs  图对应的顶点个数
     * @param data   图的各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(Mgraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 显示图的邻接矩阵
     */
    public void showGraph(Mgraph graph) {
        for (int[] ints : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(ints));
        }
    }

}


class Mgraph {
    //表示图的节点个数
    int verxs;

    //保存节点数据
    char[] data;

    //存放边，就是邻接距阵
    int[][] weight;

    public Mgraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;

        data = new char[verxs];

        weight = new int[verxs][verxs];
    }


}

171 Prim算法解决修路问题代码实现

package com.old.prim_168_171;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        //测试图是否创建成功
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G',};

        int verxs = data.length;

        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 7, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},
        };

        //创建图
        Mgraph graph = new Mgraph(verxs);

        //创建MinTree
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        minTree.showGraph(graph);

        minTree.prim(graph, 0);

    }


}

//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
    //创建图的邻接距阵

    /**
     * @param graph  图对象
     * @param verxs  图对应的顶点个数
     * @param data   图的各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(Mgraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 显示图的邻接矩阵
     */
    public void showGraph(Mgraph graph) {
        for (int[] ints : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(ints));
        }
    }


    //编写 prim 算法，得到最小生成树

    /**
     * @param graph 图
     * @param v     从图的第几个顶点开始生成 'A' -> 0 'B' -> 1
     */
    public void prim(Mgraph graph, int v) {

        //visited 标记结点（顶点）是否被访问过
        int[] visited = new int[graph.verxs];
        //visited 默认元素都是0，表示没有访问过

        //把当前结点标记为已访问
        visited[v] = 1;

        //把 h1 和 h2 记录两个顶点的下标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        // 将 minWeight 初始化成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
        int minWeight = 10000;

        //因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs -1 边
        for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {

            //这个是确定每一次生的子图，和哪个节点的距离最近
            for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {//i 节点被访问过的顶点
                for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        //替换 minWeight （丑拒已经访问过的和未访问过的结点间的权值最小的边）
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }

            //找到一条边是最小
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "，" + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
            //将当前这个结点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            //将最小权值，设置为最大，还原
            minWeight = 10000;

        }
    }

}


class Mgraph {
    //表示图的节点个数
    int verxs;

    //保存节点数据
    char[] data;

    //存放边，就是邻接距阵
    int[][] weight;

    public Mgraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;

        data = new char[verxs];

        weight = new int[verxs][verxs];
    }


}

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168 普利姆算法（Prim）和介绍

169 Prim 算法解决修路问题思路图解

170 Prim算法解决修路问题生成图

171 Prim算法解决修路问题代码实现

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