差分

a1, a2, a3 ...... an a称为b的前缀和

构造b1, b2, b3 ..... bn b称为a的差分

使得 ai = b1 + b2 .... + bi

方法：
b1 = a1

b2 = a2 - a1

b3 = a3 - a2

....

bn = an - an-1

O(n) B -----> A

一维差分

例题

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 l，r，c表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件
using namespace std;


const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c) {
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //这一步意思就是构建b数组，模拟这个过程
        //b1 = a1
        //
        //b2 = a2 - a1
        //
        //b3 = a3 - a2

        //insert(i, i, a[i]);
        //写成b[i] = a[i] - a[i - 1]也是可以的
    }

    cout<<endl;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout<<b[i]<<" ";

    }
    cout<<endl;

    while (m--) {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //b1 = a1
        //
        //b2 = a2 - a1
        //
        //b3 = a3 - a2
        //相当于输出变换后的a数组
        b[i] += b[i - 1];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d ", b[i]);
    }
    return 0;
}

二维差分

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c 表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件
using namespace std;


const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {

    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }

    while (q--) {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++){
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}