AtCoder ABC 042D いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid

题目链接:https://abc042.contest.atcoder.jp/tasks/arc058_b

题目大意:

  给定一个 H * W 的矩阵,其中左下角 A * B 区域是禁区,要求在不踏入禁区的前提下,从左上角走到右下角一共有多少种走法?

分析:

  设 D 为往下,R为往左。
这里举个 H = 10,W = 7,A = 3,B = 4的例子:
AtCoder ABC 042D いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid

首先不管怎么走,路线都是要跨越蓝色边界线的,这里我们只讨论从 A 跨越到 B 的情况,其余情况同理。

在这种情况下,总的路数就是所有从 S 走到 A 的路线总数乘上所有从 B 走到 T 的路线总数。

从 S 走到 A 的路线总数就是组合数 C(5, 2),这是因为从 S 走到 A 需要走2个 D 和3个 R,也就是说,2个 D 和3个 L 能组合出多少不同的序列,这是非常基本的组合题,答案就是5个里选2个即 C(5, 2)。

同理从 B 走到 T 的路线总数为 C(9, 2)。

于是这种情况下的总路数为 C(5, 2) * C(9, 2)。

找一下规律把所有情况加起来即可,注意数据规模很大,所以在求组合数时要用到逆元。

代码如下:

 #pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; #define INIT() std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i) #define pr(x) cout << #x << " = " << x << " "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl #define LOWBIT(x) ((x)&(-x)) #define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin()) #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a)) #define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
in >> p.first >> p.second;
return in;
} template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
for (auto &x: v)
in >> x;
return in;
} template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
return out;
} typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef set< int > SI;
typedef vector< int > VI;
typedef map< int, int > MII;
const double EPS = 1e-;
const int inf = 1e9 + ;
const LL mod = 1e9 + ;
const int maxN = 1e5 + ;
const LL ONE = ;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555; LL fac[ * maxN];
void init_fact() {
fac[] = ;
For(i, , * maxN - ) {
fac[i] = (i * fac[i - ]) % mod;
}
} //ax + by = gcd(a, b) = d
// 扩展欧几里德算法
inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = , y = ;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
} // 求a关于p的逆元,如果不存在,返回-1
// a与p互质,逆元才存在
inline LL inv_mod(LL a, LL p){
LL d, x, y;
ex_gcd(a, p, x, y, d);
return d == ? (x % p + p) % p : -;
} // Calculate x^y % p
inline LL pow_mod(LL x, LL y, LL p){
LL ans = ;
while(y){
if(y & ) ans = (ans * x) % p;
x = (x * x) % p;
y >>= ;
}
return ans;
} inline LL comb_mod(LL m,LL n){
LL ans;
if(m > n) swap(m, n); ans = (fac[n] * inv_mod(fac[m], mod)) % mod;
ans = (ans * inv_mod(fac[n - m], mod)) % mod; return ans;
} int H, W, A, B;
LL ans; int main(){
INIT();
init_fact();
cin >> H >> W >> A >> B;
For(i, , H - A) {
ans += (comb_mod(i - , i + B - ) * comb_mod(W - B - , W - B + H - i - )) % mod;
ans %= mod;
} cout << ans << endl;
return ;
}
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