一、时间序列分析

北京每年每个月旅客的人数，上海飞往北京每年的游客人数等类似这种顾客数、访问量、股价等都是时间序列数据。这些数据会随着时间变化而变化。时间序列数据的特点是数据会随时间的变化而变化。

随机过程的特征值有均值、方差、协方差等。如果随机过程的特征随时间变化而变化，那么数据是非平稳的，相反，如果随机过程的特征随时间变化而不变化，则此过程是平稳的。

如图所示：

非平稳时间序列分析时，若导致非平稳的原因是确定的，可以用的方法主要有趋势拟合模型、季节调整模型、移动平均、指数平滑等。

若导致非平稳的原因是随机的，方法主要有ARIMA，以及自回归条件异方差模型等。

二、ARIMA

1、简介

ARIMA通常用于需求预测和规划中。可以用来对付随机过程的特征随着时间变化而非固定。并且导致时间序列非平稳的原因是随机而非确定的。不过，如果从一个非平稳的时间序列开始，首先需要做差分，直到得到一个平稳的序列。模型的思想就是从历史的数据中学习到随时间变化的模式，学到了就用这个规律去预测未来。

ARIMA（p，d，q）

• d是差分的阶数，用来得到平稳序列
• p为相应的自回归项
• q是移动平均项数

2、自回归模型AR

自回归模型描述当前值与历史值之间的关系，用变量自身的历史时间数据对自身进行预测。自回归模型必须满足平稳性。

自回归模型需要先确定一个阶数p，表示用几期的历史值来预测当前值。p阶自回归模型可以表示为：

y_t是当前值，u是常数项，p是阶数，r是自相关系数，e是误差

AR的限制：

• 自回归模型是自身的数据进行预测
• 必须具有平稳性
• 必须具有相关性
• 如果自相关系数小雨0.5，则不宜采用
• 自回归只适用于预测与自身前期相关的现象

3、移动平均模型MA

移动平均模型关注的自回归模型中的误差项的累加，q阶自回归过程的公式定义如下：

移动平均模型能有效地消除预测中的随机波动

4、自回归移动平均模型ARMA

自回归模型AR和移动平均模型MA模型相结合，我们就得到了自回归移动平均模型ARMA(p,q)，计算公式如下：

5、p、q的确定

　　（1）

　　

　　（2）结合最终的预测误差来确定p、q的阶数，在相同的预测误差情况下，根据奥斯卡姆剃刀准则，模型越小越好。平衡预测误差和参数个数，我们可以根据信息准则函数法，来确定模型的阶数。预测误差通常用平方误差即残差平方和来表示。

　　　　 常用的信息准则函数法：

• ACI == 2*(模型参数个数)-2ln(模型的极大似然函数)
• BIC = ln(n) * （模型中参数的个数）-2ln(模型的极大似然函数值)，n是样本容量

6、模型的检验

主要的检验值：

• 检验参数估计的显著性（t检验）
• 检验残差序列的随机性，即残差之间是独立的

残差序列的随机性可以通过自相关函数法来检验，即做残差的自相关函数图