1.定积分在对数和几何上的应用

FTC2:
$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)d(t)=f(x)\\ y'=\frac{1}{x};L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\\ L'(x)=\frac{1}{x};L(x) = \int _1^1\frac{dt}{t}=0\\ L'' = -\frac{1}{x^2}\\ L(1) = 0; L'(1)=1$dxd​∫ax​f(t)d(t)=f(x)y′=x1​;L(x)=∫1x​tdt​L′(x)=x1​;L(x)=∫11​tdt​=0L′′=−x21​L(1)=0;L′(1)=1
$L(e) = 1$L(e)=1，

为什么 $L(x) &lt; 0, x &lt; 1$L(x)<0,x<1???

• L(1) = 0 , L递增
• $L(x) = \int_1^x\frac{dt}{t}=-\int_x^1\frac{dt}{t}$L(x)=∫1x​tdt​=−∫x1​tdt​

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$L(ab)=L(a)+L(b)\\ \int_1^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^{a}\frac{dt}{t}+\int_a^{ab}\frac{dt}{t}\\ 由于 \int_a^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^b\frac{adu}{au}=\int_1^b\frac{du}{u}=L(b)\\ t = au, dt = adu$L(ab)=L(a)+L(b)∫1ab​tdt​=∫1a​tdt​+∫aab​tdt​由于∫aab​tdt​=∫1b​auadu​=∫1b​udu​=L(b)t=au,dt=adu

Ex:$\int_0^xe^{-t^2}dt$∫0x​e−t2dt
$F&#x27;(x)=e^{-x^2},F(0)=0, F&#x27;(0)=e^{0^2}=1\\ F&#x27;&#x27;=-2xe^{-x^2}\left\{\begin{matrix} &lt;0&amp;,x &gt; 0 \\ &gt;0&amp;,x&lt;0 \end{matrix}\right.$F′(x)=e−x2,F(0)=0,F′(0)=e02=1F′′=−2xe−x2{<0>0​,x>0,x<0​
如图所示：$F&#x27;&#x27;$F′′图像，虚线为$y=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$y=2π​​,为奇函数，$F(-x)=-F(x)$F(−x)=−F(x)

如图所示：$F&#x27;=e^{-x^2}$F′=e−x2

$\lim_{x \to \infty} F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$limx→∞​F(x)=2π​​

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt=\frac{2}{z}$erf(x)=π​2​∫0x​e−t2dt=z2​

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扩展的特殊函数：

• $Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{ln t} \approx primes(素数个数) &lt; x$Li(x)=∫2x​lntdt​≈primes(素数个数)<x
• $\left.\begin{matrix} C(x)=\int_0^xcos(t^2)dt&amp; \\ S(x)=\int_0^xsin(t^2)dt&amp; \end{matrix}\right\}菲涅耳积分\\ H(x)=\int_0^x\frac{sint}{t}dt(傅里叶级数)$C(x)=∫0x​cos(t2)dtS(x)=∫0x​sin(t2)dt​​}菲涅耳积分H(x)=∫0x​tsint​dt(傅里叶级数)

Ex:关于曲线积分围城的面积

$Area=\int_a^b(f(x)-g(x))dx$Area=∫ab​(f(x)−g(x))dx

Ex求$x=y^2$x=y2和$y=x-2$y=x−2围成的面积。

• （垂直切分）
  $Area=\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))dx+\int_1^4(\sqrt{x}-(x-2))dx=...$Area=∫01​(x​−(−x​))dx+∫14​(x​−(x−2))dx=...
• （横向切分）

$Area=\int_{-1}^2((y+2)-y^2)dy=(\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3})|_{-1}^2=\frac{9}{2}$Area=∫−12​((y+2)−y2)dy=(2y2​+2y−3y3​)∣−12​=29​