机器学习十讲——第五讲（聚类）

       数学知识相关

凸函数：假设f(x)为多元函数，如果对任意t∈[0,1]，均满足：。则称f(x)为凸函数。

 

 Jensen不等式：如果f是凸函数，X是随机变量，则。

 

 该不等式的另一种描述：。ai表示权重。取等号的条件是：f(xi)是常量。

凸函数图示：

　　聚类

本质：将数据集中相似的样本进行分组的过程。

簇：分组后每个组称为一个簇，每个簇的样本对应一个潜在的类别。样本没有类别标签，因此是聚类一种典型的无监督学习方法。

簇的条件：相同簇的样本之间距离较近；不同簇的样本之间距离较远。

聚类方法：层次聚类，K-Means，谱聚类等等。

       算法介绍

K-Means模型：

起源：最初起源于信号处理，是一种比较流行的聚类方法。

数据集：，将样本划分为k个簇，每个簇中心为cj(1<=j<=k)。

优化目标：最小化所有样本点到所属簇中心的距离平方和（失真度量）。

 

模型求解：

公式中rij是离散形式，优化使用图示中的交替迭代法。

固定c，优化r：

优化目标：

 

不同的Ji(ri)相互独立，可以分别优化：

对于样本xi，对最近的中心j，rij=1，将其指派给最近的类。

固定r，优化c：

优化目标：

不同的Jj(cj)相互独立，分别优化，且均为二次凸函数：

 

 

分母（蓝色）表示cj这一类里总共有多少样本，分子（绿色）表示对应的第j类中每一个样本的求和。因此结果为第j类中心为j类样本均值。

K-Means算法流程：

1， 随机选择k个点作为初始中心。

2， Repeat：将每个样本指派到最近的中心，形成k个类；重新计算每个类的中心为该类样本均值。

3， 直到中心不发生变化。

 

高斯混合模型（GMM）：

 

GMM求解：

 

 应用到Jensen不等式，注意优化目标中是ln函数，在函数图像上显示为凹函数，因此原Jensen不等式表示中，将<=改为>=。（即第二行）

 

 

EM算法：

 

 　　实例

使用不同的方式实现K-Means算法

本次实例多次使用了make_blobs生成随机数据集，下面对该方法进行参数介绍

#使用iterrows遍历实现K-Means算法
##计算一个样本到中心的距离
import numpy as np
def point_dist(x,c): #定义距离计算函数
    return np.linalg.norm(x-c)
##使用iterrows方法遍历样本计算样本到中心的距离，定义一个函数方法实现K-Means算法
def k_means1(X,k):
    centers = X.sample(k).values #从数据集随机选择 K 个样本作为初始化的类中心，k 行 d 列
    X_labels = np.zeros(len(X)) #样本的类别
    error = 10e10
    while(error > 1e-6):
        for i,x in X.iterrows():#指派样本类标签
            X_labels[i] = np.argmin([point_dist(x,centers[i,:]) for i in range(k)])
        centers_pre = centers
        centers = X.groupby(X_labels).mean().values #更新样本均值，即类中心
        error = np.linalg.norm(centers_pre - centers)#计算error
    return X_labels, centers
##使用sklearn.datasets.make_blobs获取一个用于测试聚类算法的随机数据集
from sklearn import datasets
import pandas as pd
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=5000, n_features=8, cluster_std = 0.5,centers=3,random_state=99)
X_df = pd.DataFrame(X)
##在该数据集上使用定义好的函数方法运行K-Means聚类，用%time记录运行时间
%time labels,centers = k_means1(X_df,3) # for 循环

#使用apply遍历实现K-Means算法
def k_means2(X,k):
    #初始化 K 个中心，从原始数据中选择样本
    centers = X.sample(k).values
    X_labels = np.zeros(len(X)) #样本的类别
    error = 10e10
    while(error > 1e-6):
        #********#
        X_labels = X.apply(lambda r : np.argmin([point_dist(r,centers[i,:]) for i in range(k)]),axis=1)
        centers_pre = centers
        centers = X.groupby(X_labels).mean().values #更新样本均值，即类中心
        error = np.linalg.norm(centers_pre - centers)#计算error
    return X_labels, centers
%time labels,centers = k_means2(X_df,3) # apply 运算

 

 

#使用矩阵运算方式实现K-Means算法
import pandas as pd
import numpy as np
def k_means(X,k):
    C = X.sample(k).values  #从数据集随机选择 K 个样本作为初始化的类中心，k 行 d 列
    X_labels = np.zeros(len(X)) #记录样本的类别
    error = 10e10 #停止迭代的阈值
    while(error > 1e-6):
        D = np.zeros((len(X),k)) #样本到每一个中心的距离，n 行 k 列
        for i in range(k):
            D[:,i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i,:]),axis=1))
        #使用argmin方法将其指派到最近的类
        labels = np.argmin(D,axis=1)
        C_pre = C
        
        temp_C = X.groupby(labels).mean() #更新样本均值，即类中心
        C = np.zeros((k,X.shape[1]))
        for i in temp_C.index:
            C[i,:] = temp_C.loc[i,:].values
            
        if C.shape == C_pre.shape:
            error = np.linalg.norm(C_pre - C)#计算error
        else:
            print(C.shape, C_pre.shape)
    return labels, C
%time labels,centers = k_means(X_df,3) # 矩阵运算

 

 以上是三种实现K-Means算法的方式

聚类结果可视化

#可视化
##设置颜色
color_dict = {0:"#E4007F",1:"#007979",2:"blue",3:"orange"} #洋红，深绿，蓝色，橘色
##再次使用make_blobs随机生成二维数据集
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
%matplotlib inline
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=1000, n_features=2, cluster_std = 1.5,centers=4,random_state=999)
X_df = pd.DataFrame(X,columns=["x1","x2"])
labels,centers= k_means(X_df,4)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) #设置图片大小
for i in range(len(centers)):
    ax.scatter(X_df[labels == i]["x1"],X_df[labels == i]["x2"],color=color_dict[i],s=50,alpha=0.4)
    ax.scatter(centers[int(i),0],centers[int(i),1],color="r",s=100,marker="+")
plt.xlabel("$x_1$")
plt.ylabel("$x_2$")

 

 接下来是动画模式，之前的学习中使用过：

#使用动画展示K-Means聚类过程
##更改之前的算法，增设记录过程对象
def k_means_steps(X,k):
    #初始化 K 个中心，从原始数据中选择样本
    #********#
    samples_list = [] #记录每一个中间迭代中每一类样本
    centers_list = [] #记录每一个中间迭代中每一类样本中心
    #********#
    C = X.sample(k).values
    labels = np.zeros(len(X)) #样本的类别
    error = 10e10
    while(error > 1e-6):
        D = np.zeros((len(X),k)) #样本到每一个中心的距离
        for i in range(k):
            D[:,i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i,:]),axis=1))
        labels = np.argmin(D,axis=1)
        C_pre = C
        C = X.groupby(labels).mean().values #更新样本均值，即类中心
        #********# 记录当前迭代地每一类的样本集合和中心
        samples,centers2 = [],[]
        for i in range(k): 
            samples.append(X[labels == i])
            centers2.append(C[i,:])
            
        samples_list.append(samples)
        centers_list.append(centers2)
        #********#
        if C.shape == C_pre.shape:
            error = np.linalg.norm(C_pre - C)#计算error
        else:
            print(C.shape, C_pre.shape)
    return labels, C,samples_list,centers_list #********# 返回最终的聚类结果，聚类中心，每一步的聚类结果和聚类中心

##使用matplotlib.animation动画模块
labels,centers,samples_list,centers_list= k_means_steps(X_df,4)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))

samples_obj = []
centers_obj = []

def init_draw(): # 展现样本数据
    ax.set_title("K-Means聚类过程:")
    for i in range(len(centers)):
        samples_obj.append(ax.scatter(samples_list[0][i]["x1"],samples_list[0][i]["x2"],color=color_dict[i],s=50,alpha=0.6))
        centers_obj.append(ax.scatter(centers_list[0][i][0],centers_list[0][i][1],color="r",s=100,marker="+"))
    plt.xlabel("$x_1$")
    plt.ylabel("$x_2$")
        
def update_draw(t): # 实现动画中每一帧的绘制函数，i为第几帧
    ax.set_title("K-Means聚类过程:" + str(t))
    samples,centers = samples_list[t],centers_list[t]
    for i in range(len(centers)):
        samples_obj[i].set_offsets(samples[i])
        centers_obj[i].set_offsets(centers[i])
    plt.close()
    
#演示决策面动态变化
import matplotlib.animation as animation
from IPython.display import HTML
animator = animation.FuncAnimation(fig, update_draw, frames= range(1,len(centers_list)), init_func=init_draw,interval=2000)
HTML(animator.to_jshtml())

运行截图仅展示个别步骤：

 

 失真度量J的变化

优化目标中主要就是最小化失真度量，下面通过代码来看一看失真度量的变化

#失真度量J的可视化
##再次更改方法，记录J
import pandas as pd
import numpy as np
def k_means_inertia(X,k):
    #初始化 K 个中心，从原始数据中选择样本
    C = X.sample(k).values
    labels = np.zeros(len(X)) #样本的类别
    inertia_list = [] #*****记录优化目标****#
    error = 10e10
    while(error > 1e-6):
        D = np.zeros((len(X),k)) #样本到每一个中心的距离
        for i in range(k):
            D[:,i] = np.sqrt(np.sum(np.square(X - C[i,:]),axis=1))
        labels = np.argmin(D,axis=1)
        #J的算法：每一个类到最近中心的距离的平方和
        inertia_list.append(np.square(np.min(D,axis=1)).sum()) #****记录当前步骤的失真度量****#
        
        C_pre = C
        temp_C = X.groupby(labels).mean() #更新样本均值，即类中心
        C = np.zeros((k,X.shape[1]))
        for i in range(len(temp_C)):
            C[i,:] = temp_C.loc[i,:].values
        if C.shape == C_pre.shape:
            error = np.linalg.norm(C_pre - C)#计算error
    return labels,C,inertia_list
##可视化
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=1000, n_features=2, cluster_std=1,centers=3,random_state=99)
X_df = pd.DataFrame(X,columns=["x1","x2"])
labels,centers,inertia_list = k_means_inertia(X_df,3)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6)) #设置图片大小
t = range(len(inertia_list))
plt.plot(t,inertia_list,c="#E4007F",marker="o",linestyle='dashed')
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("inertia")
plt.xticks(t)
plt.title("K-Means算法优化目标的变化")

 

 K-Means算法可以实现图像分割：

#加载一张测试图片，使用PIL.Image.Open打开图片，使用matplotlib.imshow将图片可视化
from PIL import Image
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) #设置图片大小
path = './input/timg.jpg'
img = Image.open(path)
plt.imshow(img)
plt.box(False) #去掉边框
plt.axis("off")#不显示坐标轴

#将该图片转换成表格形式
import pandas as pd
def image_dataframe(image): #将图片转换成DataFrame,每个像素对应每一行，每一行包括三列
    rbg_values = []
    for i in range(image.size[0]):
        for j in range(image.size[1]):
            x,y,z= image.getpixel((i,j)) # 获取图片的每一个像素  (i,j)(i,j)  的 RBG 值
            rbg_values.append([x,y,z])
    return pd.DataFrame(rbg_values,columns=["R","B","G"]),img.size[0],img.size[1]

img_df,m,n = image_dataframe(img)
#输出
img_df.head()

#输出长，宽，总像素
print(m,n,m*n,len(img_df))

#使用K-Means算法进行聚类，2表示0，1标签
labels, _ = k_means(img_df,2)
#将生成的灰度图可视化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5)) #设置图片大小
labels = labels.reshape((m,n))
pic_new = Image.new("L",(m,n))
#根据类别向图片中添加灰度值
for i in range(m):
    for j in range(n):
        pic_new.putpixel((i,j),int(256/(labels[i][j] + 1)))
plt.imshow(pic_new)
plt.box(False) #去掉边框
plt.axis("off")#不显示坐标轴  

 

 

#将像素聚类类别标签，转换成一张灰度图
def img_from_labels(labels,m,n):
    labels = labels.reshape((m,n))
    pic_new = Image.new("L",(m,n))
    #根据类别向图片中添加灰度值
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            pic_new.putpixel((i,j),int(256/(labels[i][j] + 1)))
    return pic_new
#不同聚类数量k展示的效果不同
fig, ax = plt.subplots(figsize=(18, 10)) #设置图片大小
img = Image.open(path) #显示原图
plt.subplot(2,3,1)
plt.title("原图")
plt.imshow(img)
plt.box(False) #去掉边框
plt.axis("off")#不显示坐标轴

for i in range(2,7):
    plt.subplot(2,3,i)
    plt.title("k=" + str(i))
    labels, _ = k_means(img_df,i)
    pic_new = img_from_labels(labels,m,n)
    plt.imshow(pic_new)
    plt.box(False) #去掉边框
    plt.axis("off")#不显示坐标轴  

 

 最后进行实战：K-Means算法实现中文新闻分类

#读取数据
import pandas as pd
news = pd.read_csv("./input/chinese_news_cutted_train_utf8.csv",sep="\t",encoding="utf8")
news.head()

#查看新闻分类和条数
news["分类"].value_counts()

#将新闻表示成向量格式
##向量中每一个维度代表字典中的一个词，维度取值代表词在对应文档中的TF-IDF取值
###使用的函数：sklearn.feature_extraction.text模块的TfidfVectorizer
####加载停用词
stop_words = []
file = open("./input/stopwords.txt") 
for line in file:
    stop_words.append(line.strip())
file.close()

from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer
vectorizer = TfidfVectorizer(stop_words=stop_words,min_df=0.01,max_df=0.5,max_features=500)
news_vectors = vectorizer.fit_transform(news["分词文章"])

#最终转换的是一个稀疏矩阵
type(news_vectors)

#为了简便将其转换成稠密矩阵【实际中很少这么操作！！！】
news_df = pd.DataFrame(news_vectors.todense())
#输出前五列查看
news_df.head()

#使用K-Means聚类，个数设置成12（因为新闻一共有十二类）
labels, _ = k_means(news_df,12)
#新建labels保存结果
news["labels"] = labels

之后我们进行可视化展示：

#柱状图显示新闻聚类主题分布
fig, ax = plt.subplots(figsize=(18, 12)) #设置图片大小

cluster_topics = news.groupby(["labels"])["分类"].value_counts()

for i in range(12):
    plt.subplot(3,4,i+1)
    plt.title("cluster " + str(i))
    topic_dist = pd.Series(data=0,index = news["分类"].unique())
    topic_dist += cluster_topics[i]
    topic_dist.plot(kind="bar")
    plt.xticks(rotation=45)
plt.tight_layout()

 

#使用词云
##使用groupby方法根据聚类结果对新闻进行分组
cluster_contents = news[["labels","分词文章"]].groupby(["labels"])
##导入词云模块wordcloud， ./input/simfang.ttf是字体文件
from wordcloud import WordCloud
stop_words_set = set(stop_words)
cloud = WordCloud(font_path = './input/simfang.ttf',background_color='white', max_words=100,stopwords=stop_words_set,width=600,height=400)
def series_to_word_list(ts):
    results = []
    for words in ts.values:
        results.extend(words.split(" "))
    return " ".join(results)
##遍历显示词云
fig, ax = plt.subplots(figsize=(18, 12)) #设置图片大小

for cluster, group in cluster_contents:
    plt.subplot(3,4,cluster+1)
    plt.title("cluster " + str(cluster))
    wc = cloud.generate_from_text(series_to_word_list(group["分词文章"]))
    plt.imshow(wc)
    plt.axis("off")
plt.tight_layout()

 

 

 最后是本次实例中使用的python工具：