两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。
记作：a≡b (mod m)，
读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。
设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。
显然,有如下事实
（1）若a≡0(mod m)，则m|a；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
证明
充分性：m|(a-b)→a≡b(mod m)。
设a=mq1+r1，b=mq2+r2，
且0≤r1,r2
∵m |(a-b)，
又a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)。
∴必有常数n使得(r1-r2)=mn。
则有m|(r1-r2)。
∵0≤r1,r2
∴0≤|r1-r2|
∴r1-r2=0，
即r1=r2，故a≡b(mod m)。
必要性:a≡b(mod m)→m|(a-b)。
设a,b用m去除余数为r，
即a=mq1+r,b=mq2+r。
∵m(q1-q2)=(a-b)，
∴m|(a-b)。
1.反身性：a≡a (mod m)；
2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a
c≡b
d(mod m)；
5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)（）
幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数