[题目链接]

https://atcoder.jp/contests/arc096/tasks/arc096_c

[题解]

考虑容斥原理 ， 考虑钦定 \(i\) 个元素出现次数小于 \(2\)。

那么显然可以枚举将 \(i\) 个元素分为 \(j\) 组的方案数 ， 因为允许有元素没有出现 ， 所以不妨新加入一个元素 \(0\) 和一个组 ， 将 \(0\) 号元素所在的组内元素定义为未出现。

然后考虑剩下 \((n - i)\) 个元素可以组成 \(2 ^ {n - i}\) 个集合 ， 那么方案数为 \(2 ^ {2 ^ {n - i}}\) , 这 \((n - i)\) 个元素还可以往 \(j\) 个组内放 ， 方案数 \((2 ^ {n - i}) ^ j\)。

于是至少 \(i\) 个的答案就是 \(\begin{Bmatrix}i + 1\\j + 1\end{Bmatrix} \cdot 2 ^ {2 ^ {n - i}} \cdot (2 ^ {n - i}) ^ j\) ， 乘上容斥系数累加即可。

时间复杂度 : \(O(N ^ 2)\)

[代码]

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i , l , r) for (int i = (l); i < (r); ++i)

typedef long long LL;

const int MN = 3005;

int n , mod , s[MN][MN] , c[MN][MN] , ans;

inline void inc(int &x , int  y) {
	  x = x + y < mod ? x + y : x + y - mod;
} 
inline void dec(int &x , int y) {
	  x = x - y >= 0 ? x - y : x - y + mod;
}
inline int qPow(int a , int b , int mod) {
		int c = 1;
		for (; b; b >>= 1 , a = 1ll * a * a % mod) if (b & 1) c = 1ll * c * a % mod;
		return c;
}
inline void init() {
		s[0][0] = c[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
				c[i][0] = 1;
				for (int j = 1; j <= i; ++j) {
						s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + 1ll * s[i - 1][j] * j % mod) % mod;
						c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
				}
		}
		return;
}

int main() {
		
		scanf("%d%d" , &n , &mod); init();
		for (int i = 0; i <= n; ++i) {
				int one = qPow(2 , n - i , mod);
				int coef = i & 1 ? mod - 1 : 1 , res = 0;
				coef = 1ll * coef * c[n][i] % mod * qPow(2 , qPow(2 , n - i , mod - 1) , mod)	% mod;
				int cur = 1;
				for (int j = 0; j <= i; ++j) {
						inc(res , 1ll * s[i + 1][j + 1] * cur % mod);
						cur = 1ll * cur * one % mod;
				}
				inc(ans , 1ll * coef * res % mod);
		}
		printf("%d\n" , ans);
	  return 0;
}