第33期宁波市小学生复赛 题解（花式AC）
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T1 数列游戏
题目描述1
小明最近为了锻炼智力，在玩一个数列求和的游戏。设数列的长度为n，每一个 数字都是整数，且在±1000范围内。小明可以从这个数列里面选一串任意长度的连续子串并求和，小明想知道子串和绝对值的最大值是多少，你能帮帮他吗？
题目大意1
求一个数列里面字段和绝对值的最大值。
解题思路1
很显然，这是一道 最大子段和 问题的变种，只是求的是 绝对值。
最大子段和有如下方法：
方法1：大暴力
非常 暴力 的方法，不多说。
暴力 枚举 字段 起点、终点 ，对于每个子串 求和 ，最后求最大绝对值。
求和的过程可以用 前缀和 优化，复杂度 \(O(N^2)\)， \(70pt\) 到手。
方法2：分治
先别急着搞 \(O(N)\) ，实际上分治也很容易想到当然是万物皆可 二分 啦。
如果用二分做法，那么对于每个区间，最大子段要么就在 左边一半，要么在 右边一半 ，要么 横跨中间。
所以，显然可以这么设计：
- 原问题：求 \(a\) 中 \([L,R]\) 区间的最大子段和。
- 子问题1：求 \(a\) 中 \([L,mid]\) 区间的最大子段和。
子问题2：求 \(a\) 中 \([mid+1,R]\) 区间的最大子段和。 - 基本情况：当 \(L=R\) 时，返回 \(a[L]\)
- 合并：\(\max_{子问题1,子问题2,横跨中间的}\)
那么，横跨中间该怎么搞？
如果横跨中间，那么肯定要包括 \(a[mid]\) 和 \(a[mid+1]\)，所以可以把横跨中间的字段从中点分成两半来看，两边分别线性求解以 \(a[mid]\) 为右端点和以 \(a[mid+1]\) 为左端点的最大字段和，再相加。
代数式就是：\(\max_{\sum_{i=x}^{mid}a[i]}+\max_{\sum_{i=mid+1}^{y}a[i]} (l \leqslant x \leqslant mid, mid+1 \leqslant y \leqslant r)\)
核心代码：
int solve ( int l, int r )
{
if ( l == r ) return a [ l ];
int mid = l + ( r - l >> 1 ), sum = 0, ansl = -1e9, ansr = -1e9;
for ( int i = mid; i >= l; i -- ) ansl = max ( ansl, ( sum += a [ i ] ) );
sum = 0;
for ( int i = mid + 1; i <= r; i ++ ) ansr = max ( ansr, ( sum += a [ i ] ) );
return max ( max ( solve ( l, mid ), solve ( mid + 1, r ) ), ansl + ansr );
}
方法3：贪心、DP
最大子段和的 \(O(N)\) 做法的确很基础，但对于怎么来的你或许不太清楚，所以这里再提一下。
优化暴力一般分为两种：重复和不必要。
首先，如果是小于零的负数，那么出现了不必要的情况，取了还不如不取。
其次，如果画一下图，可以看出不同起点的差值是固定的，所以只要舍弃 \([i,j]\) ，那么所有 \([*,j]\) 都可以舍弃，直接从 \([j＋1,*]\) 开始。这个算法就出来了。
代码很简单，不写了。
T2 文明社会
题目描述2
在互联网上，会有一些不文明的人发送不文明的言论。我们的目的，就是要 自动过滤并且识别这些言论 给出一个字符串 S，表示那些可能不文明的言论。再给出一个字典 T，包含了 n 条违规的用语，T[1], T[2], …, T[n]。要在 S 中添加最少的，使得只要违规用语 T[i]在 S 中出现，就得在每个 T[i]的字符之间添加。 比如说 S=aaabbssss，T[1]=abb，T[2]=bbss。那么最后的符合规定的 S’就为 aaabbssss。其中 abb 在第 3 到第 5 个字符之间出现，bbss 在第 4 到第 7 个字符出现。 数据保证字符串 S 不包括字符‘*’，且 T[i]的长度一定大于 1。 其中|S|≤1000，n≤10，1<|T[i]| ≤100；|S|表示 S 字符串的长度，|T[i]|表示 T[i] 字符串的长度。
题目大意2
把 \(S\) 中所有包含在 \(T\) 中的子段的每个字符之间添加 ‘*’ ，并输出 S’。
解题思路2
这道题由于 \(|S|≤1000，n≤10，1<|T[i]| ≤100\)，可以直接暴力做（而也没有其他方法）。
暴力匹配每个 \(T[i]\) ，在匹配位置打上标记，输出时在打标记位置输出 ‘*’ 。
核心代码：
for ( int i = 1; i <= n; i ++ )
for ( int j = 1, pos = 1; j <= lens; j ++ )
{
if ( t [ i ] [ pos ] == s [ j ] ) pos ++;
if ( pos == lent [ i ] )
for ( int k = j; k < j + lent [ i ] - 1; k ++ ) flag [ k ] = true;
}
//输出
for ( int i = 1; i <= lens; i ++ )
{
printf ( "%c", s [ i ] );
if ( flag [ i ] ) putchar ( '*' );
}
T3 陷阱
题目描述3
给定一个n*m 的网格地图，格子有三种情况：
- ‘.’表示空，可以正常通行
- ‘#’表示有墙，不能通行
- 大写英文字母（A~Z）表示有陷阱，可以通行，但经过会扣一定的血量，并
且不会消失一共有k 个陷阱（编号从A 开始，ABCDE...），k<=26，并且给定起点，终点，
和初始血量H，行走方向只有上下左右四个方向，注意在行走过程中不能有任意
时刻的血量小于等于0。输出到达终点的最大血量。
题目大意3
额，真的没有
解题思路3
算法1：dfs - 30pt
原题中有一个 “30%的样例 k=0”，因此不考虑陷阱，可以那 \(30pt\) 。
DFS非常暴力：
void dfs ( int x, int y )
{
vis [ x ] [ y ] = true;
if ( x == ex && y == ey ) { ok = true; return ; }
for ( int i = 0; i < 4; i ++ )
{
tx = x + d [ i ] [ 0 ], ty = y + d [ i ] [ 1 ];
if ( ! vis [ tx ] [ ty ] && tx > 0 && tx <= n && ty > 0 && ty <= m && map [ tx ] [ ty ] != '#' ) dfs ( tx, ty );
}
}
输出时如果ok，就输出h，否则就直接输出-1。
算法2：bfs - 30pt
虽然还是 \(30pt\) ，但BFS时间更短，为了后续方便还是值得写一下。
void bfs ( int sx, int sy )
{
que.push ( node { sx, sy } );
while ( ! que.empty ( ) )
{
t = que.front ( ); que.pop ( );
if ( t.x == ex && t.y == ey ) { ok = true; return ; }
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
{
tx = t.x + d [ k ] [ 0 ], ty = t.y + d [ k ] [ 1 ];
if ( tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m && map [ tx ] [ ty ] != '#' ) que.push ( node { tx, ty } );
}
}
}
算法3：DFS - 慢慢爆栈
再在算法1的基础上增加参数h，可以得出一个正确的算法：
void dfs ( int x, int y, int h )
{
if ( x == ex && y == ey ) { ans = max ( ans, h ); return ; }
for ( int i = 0; i < 4; i ++ )
{
tx = x + d [ i ] [ 0 ], ty = y + d [ i ] [ 1 ];
if ( ! vis [ tx ] [ ty ] && tx > 0 && tx <= n && ty > 0 && ty <= m && map [ tx ] [ ty ] != '#' )
vis [ tx ] [ ty ] = true, dfs ( tx, ty ), vis [ tx ] [ ty ] = false;
}
}
额，TLE & MLE 祝你好运。
算法4：BFS - 真的AC了吗
你会想，如果要求血量，不就记录到每个点的扣血，加入队列时计算好了吗：
void bfs ( int sx, int sy )
{
que.push ( node { sx, sy } );
while ( ! que.empty ( ) )
{
t = que.front ( ); que.pop ( );
if ( t.x == ex && t.y == ey ) return ;
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
{
tx = t.x + d [ k ] [ 0 ], ty = t.y + d [ k ] [ 1 ];
if ( tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m ) que.push ( node { tx, ty } ), dis [ tx ] [ ty ] = dis [ t.x ] [ t.y ] ＋ a /*扣血，请开大一点并预处理（把'.'看成扣血0，把‘#’看成扣血∞）*/ [ map [ tx ] [ ty ] ];
}
}
}
BUT，这样真的好了吗？
设计一个数据：
| S | 1 |
| 7 | 1 |
| E | 1 |
额，你炸了。。。一个点可以有多种方法到达，而最短的那一条不一定扣血最少。这道题和最短路径没有关系。
那咋办呢？
松弛
实际上，求最短路径有一个 “松弛” 算法：
if ( dis [ u ] > dis [ v ] + dam [ u ] )
dis [ u ] = dis [ v ] + dam [ u ];
不难看出，“松弛” 就是通过介入第三点来缩短路径，其实就是一个贪心。因此，有两种 “松弛” 方式：
算法5：DFS松弛 100pt
void dfs ( int x, int y, int h )
{
for ( int i = 0; i < 4; i ++ )
{
tx = x + d [ i ] [ 0 ], ty = y + d [ i ] [ 1 ];
if ( ! vis [ tx ] [ ty ] && tx > 0 && tx <= n && ty > 0 && ty <= m && map [ tx ] [ ty ] != '#' )
if ( dis [ tx ] [ ty ] > dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ] )
dis [ tx ] [ ty ] = dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ], dfs ( tx, ty );
}
}
算法6：BFS松弛 100pt
void bfs ( int sx, int sy )
{
que.push ( node { sx, sy } );
while ( ! que.empty ( ) )
{
t = que.front ( ); que.pop ( );
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
{
tx = t.x + d [ k ] [ 0 ], ty = t.y + d [ k ] [ 1 ];
if ( tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m )
if ( dis [ tx ] [ ty ] > dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ] )
que.push ( node { tx, ty } ), dis [ tx ] [ ty ] = dis [ t.x ] [ t.y ] ＋ a [ map [ tx ] [ ty ] ];
}
}
}
算法5：BFS优化
在这个BFS中，其实每个点都只用入队/出队一次，数值就固定了，以后不需要更新。
因此，可以再把FLAG数组开回来，每个点只要入队一次就打上标记，以后就不用再入队了：
void bfs ( int sx, int sy )
{
que.push ( node { sx, sy } );
flag [ sx ] [ sy ] = true;
while ( ! que.empty ( ) )
{
t = que.front ( ); que.pop ( );
flag [ t.x ] [ t.y ] = false;
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
{
tx = t.x + d [ k ] [ 0 ], ty = t.y + d [ k ] [ 1 ];
if ( tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m )
if ( dis [ tx ] [ ty ] > dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ] )
{
if ( ! flag [ tx ] [ ty ] ) que.push ( node { tx, ty } ), flag [ tx ] [ ty ] = true;
dis [ tx ] [ ty ] = dis [ t.x ] [ t.y ] ＋ a [ map [ tx ] [ ty ] ];
}
}
}
}
嗯，恭喜你，你一不小心发明了SPFA ( Shortest Path Fast Algorithm )。
在介绍两种算法
1. 灰常暴力的 Bellman-Ford 算法
其实对于 “松弛” 操作，还有另一种更暴力的方法：不断把矩阵里每一个点进行 “松弛”，直到全部完毕，没有再更新的为止。
void Bellman_Ford ( int sx, int sy )
{
memset ( dis, 0x3f, sizeof ( dis ) );
dis [ sx ] [ sy ] = 0;
for ( bool flag = true; ! flag; flag = true )
{
for ( int x = 1; x <= n; x ++ )
for ( int y = 1; y <= m; y ++ )
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
{
tx = x + d [ k ] [ 0 ], ty = y + d [ k ] [ 1 ];
if ( tx > 0 && tx <= n && ty > 0 && ty <= m && map [ tx ] [ ty ] != '#' )
if ( dis [ tx ] [ ty ] > dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ] )
dis [ tx ] [ ty ] = dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ], flag = false;
}
}
2. 稍稍改进的 Dijkstra 算法
你可能很快就看出来了贝尔曼-福特算法有着一个致命的缺陷：每一轮都遍历了很多无用的点，所以可以每一轮都只把伤害最少的一个点周围的四个点 “松弛” 一下，这样每个点至多更新一次，快乐（误 快了很多。另外，Dijkstra算法还可以做一个队列优化，基本上就变成了SPFA。
void Dijkstra ( int sx, int sy )
{
memset ( dis, 0x3f, sizeof ( dis ) );
dis [ sx ] [ sy ] = 0;
for ( int cnt = 1; cnt <= n* m; cnt ++ )
{
int mindis = 0x3f3f3f3f, minx, miny;
for ( int x = 1; x <= n; x ++ )
for ( int y = 1; y <= m; y ++)
if ( ! flag [ x ] [ y ] && dis [ x ] [ y ] < mindis )
mindis = dis [ x ] [ y ], midx = x, miny = y;
if ( mindis == 0x3f3f3f3f ) break;
flag [ minx ] [ miny ] = true;
for ( int k = 0; k < 4; k ++ )
{
int tx = minx + d [ k ] [ 0 ], ty = miny + d [ k ] [ 1 ];
if ( tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= m )
if ( dis [ tx ] [ ty ] > dis [ x ] [ y ] + a [ map [ tx ] [ ty ] ] )
dis [ tx ] [ ty ] = dis [ t.x ] [ t.y ] ＋ a [ map [ tx ] [ ty ] ];
}
}
}
T4 汽车旅行
额，还没写好