BP算法

前情回顾

上回我们说到，单层的线性神经网络权值的迭代公式是：
$w:=w-\eta X^T(f(wX)-y)f'(wX)$w:=w−ηXT(f(wX)−y)f′(wX)
其中呢，这个$(f(wX)-y)f'(wX)$(f(wX)−y)f′(wX)我们称它为$\delta$δ，于是
$w:=w-\eta X^T\delta$w:=w−ηXTδ
不用必须是线性神经网络，其他激活函数也适用于这个公式，只不过线性的话就可以把f’(wX)这一项去掉。

对于多层的神经网络来说，每一层的权值怎么更新呢？

下面以二层的网络为例给出推导。

基本推导

损失函数自然就是
$E=\frac12(O-Y)^2$E=21​(O−Y)2
这个二层的网络是如何工作的？

我们把它看成两个单层的就好。

一开始我们初始化了两层的权值V和W。

假设我们的激活函数是f(x).

中间层的输出就可以计算:
$M = f(VX)$M=f(VX)
然后我们把 M作为下一层的输入，就可以得到预测值O：
$O=f(WM)$O=f(WM)
接下来将损失函数对W求导我们就能得到W的迭代方程:
$W:=W-\eta M^T\delta_2$W:=W−ηMTδ2​
其中的$\delta_2$δ2​就是$(O-Y)*f'(WM)$(O−Y)∗f′(WM),也同样可以写成$\frac{\partial E}{\partial (WM)}$∂(WM)∂E​

这样一来我们就更新了$W$W,记作$W_2$W2​。

通过迭代W之后，我们知道现在的$W_2$W2​可以使得f(WM)更加接近Y。

同样的想法我们要改变V使得f(VX)更加接近M的‘真实值’，从而使得$f(W_2M_2)$f(W2​M2​)更接近Y。

同理：
$V:=V-\eta X^T\delta_1$V:=V−ηXTδ1​
$\delta_1$δ1​可以写成$\frac{\partial E}{\partial (VX)}$∂(VX)∂E​，根据链式求导法则
$\delta_1=\frac{\partial E}{\partial (VX)}=\frac{\partial E}{\partial (WM)}\cdot\frac{\partial (WM)}{\partial M}\cdot\frac{\partial M}{\partial (VX)}\\=\delta_2\cdot W_2\cdot f'(VX)\\$δ1​=∂(VX)∂E​=∂(WM)∂E​⋅∂M∂(WM)​⋅∂(VX)∂M​=δ2​⋅W2​⋅f′(VX)
求出$\delta_1$δ1​后，V权值也能更新了。

这个公式当然还能更加一般化：
$\delta_i=\delta_{i+1}\cdot W_{i+1}\cdot f'(W_iO_i)$δi​=δi+1​⋅Wi+1​⋅f′(Wi​Oi​)
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