一、题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向右 -> 向下
- 向右 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向右
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths
二、java解法
1.排列组合法
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
long ans = 1;
for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
ans = ans * x / y;
}
return (int) ans;
}
}
思路：由图可知，机器人一共需要走m+n-2步，每到一个格子可以选择向下和向右走这两种方式，用组合的知识可以知道我们只需要从m+n-2中选出m-1步往下走或者n-1步往右走就可以了。即计算
2.动态规划
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int [][]dp = new int[m][n];
for(int i=0;i<m;i++){
dp[i][0]=1;
}
for(int j=0;j<n;j++){
dp[0][j]=1;
}
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}
我们把dp[m-1][n-1]设为到达第n行第m列的所有可能的路径数，我们可以很快的想到，dp[0][n-1]和dp[m-1][0]都为1，因为只有一条路径可以到达，我们现在看到达dp[1][1]有两种路径可以走即从dp[0][1]下来或者从dp[1][0]过来，所以dp[1][1]=2，那么到达dp[1][2]我们可以看到也是两种路径可以走即从dp[0][2]下来或者从dp[1][1]过来那么dp[1][2]=dp[0][2]+dp[1][1]，我们可以发现dp[m-1][n-1]=dp[m-2][n-1]+dp[m-1][n-2]。每一个格子的走法都可以化简为到达的相邻前两个格子的走法数相加，这样我们的转移方程就确定了。