题目链接: Floor and Mod

大致题意

给定x与y, 要求找到一对数(a, b), 满足**⌊a / b⌋ == a % b** 并且 a ∈ [1, x], b ∈ [1, y].

解题思路

这里是官方题解的搬运工, 感觉官方的正解很简洁且好理解.

首先 ⌊a / b⌋ == a % b 可以转化为 ⌊a / b⌋ == a % b (b > k)
进而得出 a = kb + k , 由于 b > k 因此我们得出 (a = kb + k) ∈ (k², x].

我们发现, 如果我们通过枚举余数k, 来找寻每一个符合当前情况的(a, b), 需要枚举√x次. 而当我们确定了余数k之后, a和b是唯一对应的(因为 a = kb + k, 如果当成函数来看, b是唯一的自变量, k为常数).
因此得出结论: 当余数k确定后, a与b是唯一对应的.

而题目中给定b的范围为[1, y], 而每一个b所对应的a并不一定都在(k², x]的范围内. 因此我们要对b的取值再次加以限制. 我们取a = x(上限), a = x = kb + k ==> b = x / k - 1. 此时得出 b ∈ (k, x / k - 1].

最终确定b的范围应为: b ∈ [1, y] ∩ (k, x / k - 1] = (k, min(y, x / k - 1)].

所以对于每一个k, 就有 min(y, x / k - 1) - k 个 (a, b).

特别的, 在我们从小到大枚举k的过程中, b的上下限是在缩小的, 当缩小到无解情况时, 需要进行判断, 否则得到错误答案!

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int t; cin >> t;
    while (t--) {
        int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
        
        ll res = 0;
        rep(i, x / i) {
           res += max(min(y, x / i - 1) - i, 0); //与0取max, 是过滤无解的情况.
        }
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}

END