sg函数入门理解

首先理解sg函数必须先理解mex函数

mex是求除它集合内的最小大于等于0的整数,例:mex{1,2}=0;mex{2}=0;mex{0,1,2}=3;mex{0,5}=1。

而sg函数是啥呢?

对于任意状态 x , 定义 sg(x) = mex(f),其中f 是 x 后继状态的sg函数值的集合(就是上述mex中的数值)。最后返回值(也就是sg(x))为0为必败点,不为零必胜点。

sg函数入门理解

看不懂,咱直接来个例子:

例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

sg[0]=0,f[]={1,3,4},

 

x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;

x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;

x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;

x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1...


计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)

这下就ojbk了吧

sg函数入门理解

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步,SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算

再附个模板吧

 1 //f[]:可以取走的石子个数
 2 //sg[]:0~n的SG函数值
 3 int f[maxn],sg[maxn],mex[maxn];
 4 void getSG(int n){
 5     int i,j;
 6     memset(sg,0,sizeof(sg));
 7     for(i=1;i<=n;i++){
 8         memset(mex,0,sizeof(mex));
 9         for(j=1;f[j]<=i&&f[j]<=m;j++) //注意加f[i]的限定条件,此处为f[j]<=m
10             mex[sg[i-f[j]]]=1;
11         for(j=0;j<=n;j++){    //求mex中未出现的最小的非负整数
12             if(mex[j]==0){
13                 sg[i]=j;
14                 break;
15             }
16         }
17         //cout<<i<<" "<<sg[i]<<endl;
18     }
19 }

 

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