[问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题：

设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\]

设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式, 并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两个互异的首一不可约因式, 证明: 存在非零向量 \(\beta,\gamma\in V\) 使得 \[ V=L(\beta,\varphi(\beta),\varphi^2(\beta),\cdots)\oplus L(\gamma,\varphi(\gamma),\varphi^2(\gamma),\cdots).\]