文章目录

• 4.1 背景
• 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
• 4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换
• 4.2.2 二维傅立叶变换及其反变换
• 4.3 一些二维傅立叶变换的性质
• 1. 分配性
• 2. 周期性
• 3. 对称性

4.1 背景

• 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和的形式，每个正弦和/余弦和乘以不同的系数。这个和就是傅立叶级数。
• 非周期函数(曲线是有限的情况下)也可以用正弦/余弦乘以加权函数的积分来表示。在这种情况下的公式就是傅立叶变换。

4.2 傅立叶变换和频率域的介绍

4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换

• 单变量连续函数$f(x)$f(x)的傅立叶变换$F(u)$F(u)定义为等式：
                           $F(u) = \int_{- \infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx$F(u)=∫−∞∞​f(x)e−j2πuxdx

• 反变换定义为：
                          $f(x) = \int_{- \infty}^{\infty}F(u)e^{j2\pi ux}du$f(x)=∫−∞∞​F(u)ej2πuxdu

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• 单变量离散函数$f(x)$f(x)(其中$x = 0,1,2,..m-1)$x=0,1,2,..m−1)的傅立叶变换由下等式给出：
                         $F(u) =\frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}, u = 0,1,...,M-1$F(u)=M1​∑x=0M−1​f(x)e−j2πux/M,u=0,1,...,M−1
• 反傅立叶变换：
                          $f(x) = \sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M}, x = 0,1,...,M-1$f(x)=∑u=0M−1​F(u)ej2πux/M,x=0,1,...,M−1
• $F(u)$F(u)值的范围覆盖的域($u$u的值)称为频率域，因为$u$u决定了变换的频率成分。$F(u)$F(u)的$M$M项中的每一个被称为变换的频率分量。
• 有时在极坐标下表示$F(u)$F(u)很方便：
                          $F(u) = |F(u)|e^{-j\phi(u)}$F(u)=∣F(u)∣e−jϕ(u)

频率谱     $F(u) = [R^2(u) + I^2(u)]^{1/2}$F(u)=[R2(u)+I2(u)]1/2

$R(u)$R(u)指的是傅立叶变换中的实部
$I(u)$I(u)指的是傅立叶变换中的虚部

相位谱     $\phi(u) = tan^{-1}[\frac{I(u)}{R(u)}]$ϕ(u)=tan−1[R(u)I(u)​]
功率谱      $P(u) =|F(u)|^2 = R^2(u) + I^2(u)$P(u)=∣F(u)∣2=R2(u)+I2(u)

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4.2.2 二维傅立叶变换及其反变换

• 二维连续傅立叶变换与反变换
                                 $F(u,v) = \int_{- \infty}^{\infty}\int_{- \infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy$F(u,v)=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy

                                          $f(x,y) = \int_{- \infty}^{\infty}\int_{- \infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv$f(x,y)=∫−∞∞​∫−∞∞​F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv

• 二维离散傅立叶变换与反变换
  $F(u,v) =\frac{1}{MN} \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$F(u,v)=MN1​∑x=0M−1​∑y=0N−1​f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)

$f(x,y) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}$f(x,y)=∑x=0M−1​∑y=0N−1​F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)

• $F(u,v)$F(u,v)也可以写成极坐标的形式：
                          $F(u,v) = |F(u,v)|e^{-j\phi(u,v)}$F(u,v)=∣F(u,v)∣e−jϕ(u,v)

频率谱     $F(u,v) = [R^2(u,v) + I^2(u,v)]^{1/2}$F(u,v)=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2

$R(u)$R(u)指的是傅立叶变换中的实部
$I(u)$I(u)指的是傅立叶变换中的虚部

相位谱     $\phi(u,v) = tan^{-1}[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}]$ϕ(u,v)=tan−1[R(u,v)I(u,v)​]
功率谱      $P(u,v) =|F(u,v)|^2 = R^2(u,v) + I^2(u,v)$P(u,v)=∣F(u,v)∣2=R2(u,v)+I2(u,v)

• 二维傅立叶变换的平移性，即：
  $f(x,y)exp[j2\pi(u_0x/M+v_0y/N)] \Leftrightarrow F(u-u_0,v-v_0)$f(x,y)exp[j2π(u0​x/M+v0​y/N)]⇔F(u−u0​,v−v0​)
  $f(x-x_0,y-y_0) \Leftrightarrow F(u,v)exp[-2j\pi(ux_0/M+vy_0/N)]$f(x−x0​,y−y0​)⇔F(u,v)exp[−2jπ(ux0​/M+vy0​/N)]

证明：

欧拉公式：$e^{ix} = cosx + isinx$eix=cosx+isinx

根据平移性：

这说明，$f(x,y)(-1)^{x+y}$f(x,y)(−1)x+y的傅立叶变换的原点被设置在$u = \frac{M}{2}$u=2M​,$v = \frac{N}{2}$v=2N​。

使用平移性，实现傅立叶变换结果的中心的平移。

4.3 一些二维傅立叶变换的性质

1. 分配性

$\mathscr{F}[f_1(x,y) + f_2(x,y)] = \mathscr{F}[f_1(x,y)] + \mathscr{F}f_2(x,y)]$F[f1​(x,y)+f2​(x,y)]=F[f1​(x,y)]+Ff2​(x,y)]

$af(x,y) \Leftrightarrow aF(u,v)$af(x,y)⇔aF(u,v)

傅立叶反变换适用相同的结论。

2. 周期性

离散傅立叶变换有如下的周期性：
$F(u,v) =F(u+M,v) = F(u,v+N) = F(u+M,v+N)$F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N)
$f(x,y) = f(x + M,v) = f(x,y+N) = f(x+M,y+N)$f(x,y)=f(x+M,v)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)

离散傅立叶变换把原来的图像看成周期的二维离散函数

证明频率域的周期性：

3. 对称性

如果$f(x,y)$f(x,y)是实函数，它的傅立叶变换必然是对称的，即：

$F(u,v) = F^*(-u,-v)$F(u,v)=F∗(−u,−v)

$|F(u,v)| = |F(-u,-v)|$∣F(u,v)∣=∣F(−u,−v)∣