【HNOI 2018】排列

2024-03-04 17:57:41

Problem

Description

给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \ldots , a_n(0 \le a_i \le n)\)，以及 \(n\) 个整数 \(w_1, w_2, …, w_n\)。称 \(a_1, a_2, \ldots , a_n\) 的一个排列 \(a_{p[1]}, a_{p[2]}, \ldots , a_{p[n]}\) 为 \(a_1, a_2, \ldots , a_n\) 的一个合法排列，当且仅当该排列满足：对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(j \le k\)，那么 \(a_{p[j]}\) 不等于 \(p[k]\)。（换句话说就是：对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(p[k]\) 等于 \(a_{p[j]}\)，那么 \(k<j\)。）

定义这个合法排列的权值为 \(w_{p[1]} + 2w_{p[2]} + \ldots + nw_{p[n]}\)。你需要求出在所有合法排列中的最大权值。如果不存在合法排列，输出 \(-1\)。

样例解释中给出了合法排列和非法排列的实例。

Input Format

第一行一个整数 \(n\)。

接下来一行 \(n\) 个整数，表示 \(a_1,a_2,\ldots , a_n\)。

接下来一行 \(n\) 个整数，表示 \(w_1,w_2,\ldots ,w_n\)。

Output Format

输出一个整数表示答案。

Sample

Input 1

3
0 1 1
5 7 3

Output 1

Input 2

3
2 3 1
1 2 3

Output 2

-1

Input 3

10
6 6 10 1 7 0 0 1 7 7
16 3 10 20 5 14 17 17 16 13

Output 3

Explanation

Explanation for Input 1

对于 \(a_1=0,a_2=1,a_3=1\)，其排列有

\(a_1=0,a_2=1,a_3=1\)，是合法排列，排列的权值是 \(1*5+2*7+3*3=28\)；
\(a_2=1,a_1=0,a_3=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[2]\)；
\(a_1=0,a_3=1,a_2=1\)，是合法排列，排列的权值是 \(1*5+2*3+3*7=32\)；
\(a_3=1,a_1=0,a_2=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[2]\)；
\(a_2=1,a_3=1,a_1=0\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)；
\(a_3=1,a_2=1,a_1=0\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)。

因此该题输出最大权值 \(32\)。

Explanation for Input 2

对于 \(a_1=2,a_2=3,a_3=1\)，其排列有：

\(a_1=2,a_2=3,a_3=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[2]\)；
\(a_2=3,a_1=2,a_3=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)；
\(a_1=2,a_3=1,a_2=3\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)；
\(a_3=1,a_1=2,a_2=3\)，是非法排列，因为 \(a_{p[2]}\) 等于 \(p[3]\)；
\(a_2=3,a_3=1,a_1=2\)，是非法排列，因为 \(a_{p[2]}\) 等于 \(p[3]\)；
\(a_3=1,a_2=3,a_1=2\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)。

因此该题没有合法排列。

Range

对于前 \(20\%\) 的数据，\(1 \le n \le 10\)；

对于前 \(40\%\) 的数据，\(1 \le n \le 15\)；

对于前 \(60\%\) 的数据，\(1 \le n \le 1000\)；

对于前 \(80\%\) 的数据，\(1 \le n \le 100000\)；

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 500000\)，\(0 \le a_i \le n (1 \le i \le n)\)，\(1 \le w_i \le 10^9\) ，所有 \(w_i\) 的和不超过 \(1.5 \times 10^{13}\)。

Algorithm

并查集

Mentality

这一题的题面很神仙，略难懂。

简而言之，有一棵树，告诉你每个节点的父亲和权值，只有选择了父亲才能选择儿子，如果当前选到的节点是你选的第 \(i\) 个，那么它的贡献为 \(i×\)权值。问最大的总贡献。必须选完整棵树。

那么数据里不能有环，否则输出 \(-1\) 。

除去无解的情况，我们可以开始想想怎么做了：

首先想到一个很显然的错误贪心，那就是用一个优先队列维护当前能选的所有点，优先选权值最小的，不过这很好卡，若 \(i\) 的权值为 \(1e9\) ，其他所有节点的权值为 \(1e9-1\) ，\(i\) 的子树权值都为 \(1\) 。那这个贪心就死掉了。

但是不打紧，我们可以考虑这样一些东西：对于一个节点 \(i\) ，如果它的权值是最小的，那么当我们选完了 \(fa[i]\) ，我们必定会选择 \(i\) ，也就是说，对于权值最小的 \(i\) ，它一定会在 \(fa[i]\) 之后挨着选择。

所以我们可以考虑将最后答案的选择序列分割为 \(n\) 块，利用这个贪心一块块按顺序合并。

但是，对于两块 \(size>1\) 的序列，我们如何合并它们呢？

假设我已经选到了第 \(i\) 位，之后要按顺序合并 \(a\) 与 \(b\) 两块序列。

设 \(W_i\) 为序列 \(i\) 内元素权值和，\(w_{i_j}\) 代表序列 \(i\) 内第 \(j\) 个元素的权值。

那么如果我们先选 \(a\) 再选 \(b\) ，贡献就会是这样的：

\[ \sum_{j=1}^{size_a}(i+j)\cdot w_{a_j}+\sum_{j=1}^{size_b}(i+size_a+j)\cdot w_{b_j} \]

而先选 \(b\) 的话，贡献如下：

\[ \sum_{j=1}^{size_b}(i+j)\cdot w_{b_j}+\sum_{j=1}^{size_a}(i+size_b+j)\cdot w_{a_j} \]

则先选 \(a\) 更优，当且仅当 \(size_a*sum_b>size_b*sum_a\) 。

那么贪心策略便彻底确定下来了，我们只需要按证明出的结论的优劣性贪心选择并合并即可。

过程如下：

初始化并查集
选择堆顶元素，并检查元素是否为所在集合的根
合并当前元素与父亲所在集合，并计算对答案的贡献

完毕。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,cnt,Fa[500001],head[500001],nx[500001],to[500001];
int fa[500001],size[500001];
long long w[500001],ans;
bool vis[500001],flag;
struct node
{
    int x,size;
    long long w;
    bool operator<(const node b)const{return w*b.size>b.w*size;}//定义比较函数
};
priority_queue <node> q;
int find(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void Push(int x)
{
    q.push(node{x,size[x],w[x]});
}
void Merge(int f,int x)
{
    ans+=1ll*size[f]*w[x];//计算贡献
    w[f]+=w[x];
    size[f]+=size[x];
}//合并集合
void dfs(int x)
{
    if(flag)return;
    if(vis[x])flag=1;
    vis[x]=1,cnt++;
    for(int i=head[x];i;i=nx[i])
        dfs(to[i]);
}
int main()
{
    freopen("4437.in","r",stdin);
    freopen("4437.out","w",stdout);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&Fa[i]);
        nx[i]=head[Fa[i]],to[i]=i;
        head[Fa[i]]=i;
    }
    dfs(0);
    if(cnt<n||flag)
    {
        cout<<"-1";
        return 0;
    }//判断不合法情况--环
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&w[i]);
        ans+=w[i];
        fa[i]=i,size[i]=1;
        Push(i);
    }//初始化并查集与答案
    int x,f;
    while(!q.empty())
    {
        x=q.top().x;
        q.pop();
        if(x!=find(x))continue;//判断是否为并查集根部元素
        x=find(x);
        fa[x]=f=find(Fa[x]);//合并
        Merge(f,x);
        if(f)Push(f);//加入堆内
    }
    cout<<ans;
}

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