[HAOI 2011]Problem c

2021-12-28 22:10:27

Description

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

Input

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

Output

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

Sample Input

2
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10

Sample Output

YES 4
NO

HINT

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤109，1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。

题目大意

一个序列合法等价于编号$≤i$的人至少有$i$个。有些人钦定了座位。问合法序列多少个。

题解

难道就我一个人纠结题意纠结这么久么？？

令$f_{i,j}$表示编号$≤i$的人有$j$个的方案数，$cnt_i$表示确定编号为$i$的人的个数，$sum_i$表示编号可以$≤i$的人的个数。

则：$$f_{i,j}=\sum_{k=cnt_i}^{j-i+1}f_{i-1,j-k}*C_{sum_i-cnt_i-(j-k)}^{k-cnt_i}$$

显然$i<=j$，那么我们可以考虑如何从$i-1$转移到$i$。因为是从$i-1$转移过来，那么显然我们需要知道编号确定为$i$的人究竟有多少个。所以我们可以枚举这一位，也就是$i$，编号恰好为$i$的人数$k$。那么这个人数$k$显然最少为$cnt[i]$，也就是编号必须为$i$的人数，另外我们需要知道小于等于$i$的人有$j$个，所以同样需要枚举。$j$的范围是$i$到$sum[i]$（最多为$sum[i]$，相当于是能选编号小于等于$i$的最大人数）。所以上一位一共选了$j-k$个人（这一位新选了$k$个（注意：$k≤j-i+1$，因为上一位最少选$i-1$个），一共是$j$个人），所以就可以从$f_{i-1,j-k}$转移过来。那么这一位一共要选出$k-cnt[i]$个人编号为$i$，因为$cnt[i]$是必须要编号为$i$的人数，所以剩下的才是可供*支配的。然后总人数呢？就是$sum[i]-(j-k)$也就是说这一位最多选$sum[i]$，上一位选了$(j-k)$,可知这一位最多选$sum[i]-cnt[i]-j+k$个人，也就是可以*支配的总数。所以只需要把上一位的方案数$f_{i-1,j-k}$乘上一个组合数就可以得到这次的$f_{i,j}$。所以我们要预处理一下组合数。记得取模！

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 #include <set>

 #include <map>

 #include <cmath>

 #include <ctime>

 #include <stack>

 #include <queue>

 #include <vector>

 #include <string>

 #include <cstdio>

 #include <cstdlib>

 #include <cstring>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define LL long long

 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 #define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))

 using namespace std;

 const int N = ;

 int C[N+][N+];

 int n, m, M, p, q;

 int cnt[N+], sum[N+];

 int f[N+][N+];

 void work() {

     scanf("%d%d%d", &n, &m, &M);

     memset(cnt, , sizeof(cnt)); memset(f, , sizeof(f));

     for (int i = ; i <= n; i++) {

         C[i][] = ;

         for (int j = ; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i-][j-]+C[i-][j])%M;

     }

     for (int i = ; i <= m; i++) {

         scanf("%d%d", &p, &q); cnt[q]++;

     }

     sum[] = n-m;

     for (int i = ; i <= n; i++) {

         sum[i] = sum[i-]+cnt[i];

         if (sum[i] < i) {

             printf("NO\n"); return;

         }

     }

     printf("YES ");

     f[][] = ;

     for (int i = ; i <= n; i++)

         for (int j = i; j <= sum[i]; j++)

             for (int k = cnt[i]; k <= j-i+; k++)

                 (f[i][j] += (LL)f[i-][j-k]*C[sum[i]-cnt[i]-(j-k)][k-cnt[i]]%M) %= M;

     printf("%d\n", f[n][n]);

 }

 int main() {

     int t; cin >> t;

     while (t--) work();

     return ;

 }

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