【文章来源于斯坦福大学课件http://graphics.stanford.edu/courses/cs348b-01/course29.hanrahan.pdf，以下为翻译，如有错误还请指出】
一：解决渲染方程
为了得到渲染方程，我们先从反射方程开始。
反射的辐照光度（radiance） is computed by integrating the incoming radiance overa hemisphere centered at a point of the surface and oriented such that its northpole is aligned with the surface normal.。【译注：这句我不会翻译】。BRDF
即入射光线散射到任何一个方向的概率分布函数。一般来说，这BRDF的两个方向向量将会指向表面外。
几何光学的基本法则之一就是radiance在光学传播过程永远不会改变。（假设没有散射或吸收）。在没有物体的空间中，光会沿直线传播，而radiance在光线传播是不会改变。因此，假设有在接收表面上的一点 ，看见了源表面的一点
，那么接收表面处的radiance等于发射表面的radiance。
图1.1：在上半球面计算总和
我们使用方向作为两点的函数：
标准方式是将在 的入射radiance
使用从接收点
到发射点
的方向参数化。
在两点radiance中引入符号也非常有用。
以及三点的BRDF
注意：此处定义的两点的radiance函数不同于两点在Kajiya的原始论文中定义的强度函数。
点到点的函数非常清晰而且符合直觉，所以非常有用。比如，如果 能看见
，那么
也能看见
。这种相互可见性表示为两点可见性函数，
，如果两点之间能够直接用线段连接而不被其他物体阻断，那么值就为1，否则为0。
图片1.2：两点几何体
反射方程涉及上半球的积分。通过将变量从固体角改为区域面积，可以很容易将积分改为曲面上的积分。只需要把固体角与源到表面积区域相关联就很容易做到。
投影固体角就会变成
其中
在这些方程中，我们区分了用于在曲面上指定点 ，以及我们所使用的积分，即差分方程
。但很多时候不会那么严格，而只用
或
去代表
或
。几何体因子
与differential form factor有关，即
最后反射方程就会变成如下形式的积分：
在这个方程中， 和
是独立变量，而我们使用参数
来积分表面区域。因此，入射方向
以及
的方向是这些位置的函数。
最后一步是保证能量守恒。
而出射(outgoing)的radiance是发射（emission）和反射(reflection)的radicance之和。在每个表面使用发射函数可以创建区域光源。将反射方程代入能量守恒方程，就得到了渲染方程。
为了更加清晰明了，我们将出射radiance的下标o去掉了。
渲染方程将接收表面的radiance（即等式右侧第一项）和其他表面的radiance（等式右侧的积分项）结合起来。这个等式适用于环境任何表面的任何点。我们要弄清楚我们知道哪些，不知道哪些。发射函数 和BRDF
是已知的，因为它们由场景的几何体，材质以及光源决定。我们不知道的是所有表面上的radiance
。为了计算出radiance我们必须解开这个等式。因为未知数
在积分符号里面，所以相当于积分等式。解开这个等式就是Mante Carlo Path Tracing的主要目标。
渲染方程有时候以算子的形式更加紧凑地写出。算子就是将一个函数映射到另一个函数的方法。在这里，这个函数就是radiance。
有时候将算子 拆分成两个算子
和
非常有用。
是transfer算子，用于把一个表面出射光转变到另一个表面。
是散射或反射算子，可以由入射光分布计算出出射光分布。
要解开渲染方程可以用迭代法。
注意到 ，而
是标识符算子（identity operator）。最终结果就是诺伊曼级数（Neumann Series）的形式解（formal solution），而非计算解（computed solution）。
另一种解决诺伊曼级数的方法是使用类比：
和
渲染方程
那么解法就是
注意到 只是发射函数的一个算子，把发射光传播到所有表面。
写成这样的形式解也很有用
我们来考虑其中一项：
这个积分在几何和物理上都是很容易理解的。这代表了一簇(family）光线路径。每个路径都被反弹数和或长度 n定义。给定长度，有许多可能的路径。而路径被一组顶点所指定。第一个顶点是光源，而接下来的顶点就是反射表面。给定长度的所有路径的总贡献由所有可能的光和表面位置积分而来，也就是在表面上积分 n 次。但我们必须权衡好，特定的路径积分包含了一系列几何体和反射项。等式的最终解决方法就是把所有长度的路径的总和相加，或简单来说，所有可能的光路。
注意到这是非常高维的积分，比如路径长度为n，那么积分就是2n维的空间。积分也同时包含可见项和非常复杂的反射方程，这也就是为什么使用Monte Carlo方法来解决渲染等式。
首先是一个非常易于实践的步骤，与渲染等式的解和到摄像机里的图形变换有关。这个等式就是Measurement Equation
响应函数 取决于像素过滤器（由
决定）和小孔（aperture，由
决定），和快门（shutter，由 t 决定）。其他因子比如光线经过透镜系统的变换和光谱可见性也可添加进来。但简单起见我们将忽略这些东西。
如上所示，图像的像素值是由与嵌套积分有关的函数决定。这些积分非常复杂，但我们可以采样函数来估算它。
-
在图像(x,y)上采样一个像素点来减少锯齿。
-
采样一个摄像机aperture（u,v）来产生深度场
-
在时间t即shutter采样来产生运动模糊
-
在波长
上采样来模拟光谱效应比如色散（dispersion）
-
在反射函数上采样来产生模糊反射
-
在透射函数上采样来产生模糊透射
-
在光源的固体角上采样来产生penumbras 和 soft shadows
-
在路径上采样来互反射（interreflection）
在x,y,u,v和t上采样之前已经讨论过了。采样光源并且用半球积分也已经讨论过。最后剩下的就是采样路径。
二：蒙特卡洛路径追踪
首先，先来介绍一些符号。每个路径都终止于于眼睛或者光源。
E —— 眼睛。
L —— 光源。
每次光线反弹都意味着于一个表面的互动，即反射或是穿过（transmission）。有许多不同的函数，可以将它们符号化：
D —— 漫反射或是传输
G —— 光泽（glossy）反射或传输
S —— 高光 （specular）反射或传输
漫反射说明光有可能被散射到任何方向。高光意味着只有一个方向，也就是说，给定一个入射方向，那么只有一个特定的出射方向与之对应。最后，glossy就是两者之间。
特定的光线追踪技术使用特定的方法实现：
这组路径追踪使用正则表达式来表示，这最早由Shirley提出。所有路径都必须有光L，眼睛E，以及至少一个表面，所有路径最短长度为3。
但这个符号很棒的地方就是当不必追踪某些路径，或不用考虑某种特定的光线传输时非常清晰。例如，Appel的算法只追踪路径长度为3的，而忽略了其他路径，因此，只有直接光照会被考虑。Whitted的算法会追踪所有长度的路径，但忽略了通过镜面的光线，因此没有下面的E(D|G)*L项。分布式光线追踪和路径追踪包括很多次反射以及非高光散射，例如E(D|G)*L，但
现在来介绍基本的蒙特卡洛路径追踪算法
第一步：选择一个光线，给定参数（x,y,u,v,t）
第二步：找到与这个光线最近的一个表面交点处
第三步：随机决定是否计算发射(emitted)或反射(reflected)光。
第三步A：如果计算发射光：返回 weight * Le。
第三步B：如果计算反射光：weight *= reflectance，BRDF pdf随机散射，返回第二步。
这个算法将会在光到达光源时终止。简单起见，我们假设所有光源使用与表面有关的发射项。知乎我们将讨论如何更好地处理光源。
这个算法的一个变种是从反方向追踪光线，从光源到摄像机。我们假设反射表面永远不会吸收光线，而摄像机可以完美地吸收任何光线。
第一步：根据光源强度分布随机选择一个光源，根据自身密度函数产生一束光，weight = 1
第二步：跟踪光线并找到与表面的交点
第三步：随机决定是散射还是吸收光线
第三步A：如果散射，weight *= relfectance，根据BRDF随机散射光，然后返回第二步。
第三步B：如果被摄像机幕吸收，则记录x,y的权重，返回第一步。
第一个算法是前向传播。前向光线追踪里光线从眼睛开始传播到光源。而反向光线传播从光源开始，以眼睛结束，但在物理上来说两者并没有什么区别，因为光线方向的改变不会影响的其他性质。这两个方向各有优缺点，最好能结合起来用。
以上是简单的蒙特卡洛路径追踪算法，但我们现在仍然面临两个挑战：
挑战1：如何不失偏颇地采样无限数量的路径
挑战2：找到使用很少变量的估算方法。
【这才翻译了一半，原文实在太长，因此剩下的放到另一篇文章里。】