UA MATH563 概率论的数学基础 鞅论初步4 Radon-Nikodym定理，条件期望的存在唯一性

延续上一讲对条件期望性质的讨论。

性质八：存在唯一性、绝对可积性
E [ X ∣ F ] E[X|\mathcal{F}] E[X∣F]存在且 a . s . a.s. a.s.唯一以及 ∫ Ω ∣ E [ X ∣ F ] ∣ d P < ∞ \int_{\Omega}|E[X|\mathcal{F}]|dP<\infty ∫Ω​∣E[X∣F]∣dP<∞。这是第一讲条件期望的定义评注中第二条与第三条，这两条性质保证条件期望的定义是严谨的。

证明
记 Y = E [ X ∣ F ] Y=E[X|\mathcal{F}] Y=E[X∣F]，先说明绝对可积性，记 A = Y − 1 ( ( 0 , + ∞ ) ) A=Y^{-1}((0,+\infty)) A=Y−1((0,+∞))，显然 A ∈ F A \in \mathcal{F} A∈F
∫ A Y d P = ∫ A X d P ≤ ∫ A ∣ X ∣ d P ∫ A C − Y d P = ∫ A C − X d P ≤ ∫ A C ∣ X ∣ d P \int_A YdP=\int_A XdP \le \int_A |X|dP \\ \int_{A^C} -YdP=\int_{A^C} -XdP \le \int_{A^C} |X|dP ∫A​YdP=∫A​XdP≤∫A​∣X∣dP∫AC​−YdP=∫AC​−XdP≤∫AC​∣X∣dP

因此
∫ Ω ∣ Y ∣ d P = ∫ A Y d P + ∫ A C − Y d P ≤ ∫ A ∣ X ∣ d P + ∫ A C ∣ X ∣ d P = ∫ Ω ∣ X ∣ d P < ∞ \int_{\Omega} |Y|dP = \int_{A}YdP+\int_{A^C}-YdP \\ \le \int_{A}|X|dP+\int_{A^C}|X|dP = \int_{\Omega}|X|dP<\infty ∫Ω​∣Y∣dP=∫A​YdP+∫AC​−YdP≤∫A​∣X∣dP+∫AC​∣X∣dP=∫Ω​∣X∣dP<∞

因此，如果 X X X绝对可积，那么它的条件期望也是绝对可积的。

下面我们讨论唯一性。如果 Y , Y ′ Y,Y' Y,Y′都是 X X X关于 F \mathcal{F} F的条件期望，则 ∀ A ∈ F \forall A\in \mathcal{F} ∀A∈F，
∫ A Y d P = ∫ A Y ′ d P = ∫ A X d P \int_A Y dP = \int_A Y' dP = \int_A X dP ∫A​YdP=∫A​Y′dP=∫A​XdP

取 A = { w : ( Y − Y ′ ) ( w ) ≥ ϵ } A = \{w:(Y-Y')(w) \ge \epsilon\} A={w:(Y−Y′)(w)≥ϵ}, ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ∀ϵ>0，则
0 = ∫ A ( Y − Y ′ ) d P ≥ ϵ P ( A ) ≥ 0 0 = \int_A (Y-Y')dP \ge \epsilon P(A) \ge 0 0=∫A​(Y−Y′)dP≥ϵP(A)≥0

因此 P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0，说明 Y ≥ Y ′ , a . s . Y \ge Y',a.s. Y≥Y′,a.s.，同样地，取 A = { w : ( Y ′ − Y ) ( w ) ≥ ϵ } A= \{w:(Y'-Y)(w) \ge \epsilon\} A={w:(Y′−Y)(w)≥ϵ}, ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ∀ϵ>0，用相同的分析方法，可以得到 Y ≤ Y ′ , a . s . Y \le Y',a.s. Y≤Y′,a.s.，因此 Y = Y ′ , a . s . Y=Y',a.s. Y=Y′,a.s.。

---

在证明存在性之前，我们需要引入一个新的分析工具——Radon-Nikodym定理。

定义 测度的绝对连续
假设 μ , ν \mu,\nu μ,ν是定义在 ( Ω , B ) (\Omega,\mathcal{B}) (Ω,B)上的两个测度，称 ν \nu ν关于 μ \mu μ绝对连续（ ν < < μ \nu<<\mu ν<<μ）如果
μ ( A ) = 0 ⇒ ν ( A ) = 0 , ∀ A ∈ B \mu(A) = 0 \Rightarrow \nu(A)=0,\forall A \in \mathcal{B} μ(A)=0⇒ν(A)=0,∀A∈B

Radon-Nikodym定理
假设 μ , ν \mu,\nu μ,ν是 ( Ω , B ) (\Omega,\mathcal{B}) (Ω,B)上的两个 σ \sigma σ-有限测度， ν < < μ \nu<<\mu ν<<μ，则存在 B \mathcal{B} B-可测的函数 f : Ω → R f:\Omega \to \mathbb{R} f:Ω→R，使得
∫ A f d μ = ν ( A ) , ∀ A ∈ B \int_A f d\mu = \nu(A),\forall A \in \mathcal{B} ∫A​fdμ=ν(A),∀A∈B

称 f f f为测度 ν \nu ν关于测度 μ \mu μ的Radon-Nikodym导数，记为
f = d ν d μ f = \frac{d \nu}{d \mu} f=dμdν​

读者可以在任何一本实分析或测度论的书上找到这个定理的证明。接下来我们要用这个定理证明条件期望的唯一性。

---

我们先构造满足Radon-Nikodym定理d的测度 μ \mu μ和 ν \nu ν，回顾一下我们的问题，在概率空间 ( Ω , B , P ) (\Omega,\mathcal{B},P) (Ω,B,P)上定义有一个映射到 ( R , B ( R ) ) (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) (R,B(R))的随机变量 X X X， X ≥ 0 , E X < ∞ X \ge 0,EX<\infty X≥0,EX<∞， F \mathcal{F} F是 B \mathcal{B} B的子 σ \sigma σ-代数，我们要证明 X X X关于 F \mathcal{F} F的条件期望存在。

定义 μ = P ∣ F \mu=P|_{\mathcal{F}} μ=P∣F​，定义 ν \nu ν满足
ν ( A ) = ∫ A X d P , ∀ A ∈ F \nu(A)=\int_A XdP,\forall A \in \mathcal{F} ν(A)=∫A​XdP,∀A∈F

如果 μ ( A ) = 0 \mu(A)=0 μ(A)=0，则
ν ( A ) = ∫ A X d μ ≤ ( max ⁡ A X ) μ ( A ) = 0 \nu(A)=\int_A Xd\mu \le (\max_A X)\mu(A)=0 ν(A)=∫A​Xdμ≤(Amax​X)μ(A)=0

所以 ν < < μ \nu<<\mu ν<<μ。根据Radon-Nikodym定理，存在 f : Ω → R f:\Omega \to \mathbb{R} f:Ω→R，使得
ν ( A ) = ∫ A f d μ = ∫ A f d P = ∫ A X d P , ∀ A ∈ F \nu(A)=\int_A f d\mu=\int_A f dP = \int_A X dP,\forall A \in \mathcal{F} ν(A)=∫A​fdμ=∫A​fdP=∫A​XdP,∀A∈F

这说明Radon-Nikodym导数 f f f就是一个条件期望。

注 这个存在性的证明是对取值为正的随机变量进行的，对于取值为负的随机变量，可以用 − X -X −X进行上述分析，对于一般的随机变量，可以用 X + − X − X^+-X^- X+−X−进行上述分析，也就是说建立条件期望的路径与建立Lebesgue积分的路径是一致的。

评注
根据性质八的证明，我们可以发现条件期望存在唯一且可以表示成两个测度的R-N导数，即
E [ X ∣ F ] = d ν d P ∣ F E[X|\mathcal{F}]=\frac{d\nu}{dP|_{\mathcal{F}}} E[X∣F]=dP∣F​dν​

其中 ν ( A ) = ∫ A X d P , ∀ A ∈ F \nu(A)=\int_AXdP,\forall A \in \mathcal{F} ν(A)=∫A​XdP,∀A∈F，也可以表示为 ν ( A ) = E [ X 1 A ] \nu(A)=E[X1_{A}] ν(A)=E[X1A​]。这给为复杂的随机变量或在复杂的概率空间上构造条件期望提供了一种分析方法，这种方法在measure level的统计决策理论中是比较常用的。