The Trapezoidal Rule 梯形公式

原理

要求f(x)在某个区间的面积，该如何去求解？
利用近似，整体上图形不是梯形，所以不能用梯形面积计算公式求解，但是微分的思想告诉我们，只要足够小，可以近似的看成是梯形，然后将每个小梯形面积相加即可得到整体的面积。

每个小梯形面积\(\frac{h}{2}[f(x_i) + f(x_{i+1})]\)
将区间[a,b]分成n份,每份是\(h=\frac{b-a}{n}\)
令 \(x_0=a,x_1 =a+h,x_2=a+2*h,...,x_{n-1}=a+(n-1)*h,x_n = b\)

\[\begin{align*} S &=[f(x_0)+f(x_1)] * \frac{h}{2} + [f(x_1)+f(x_2)] * \frac{h}{2} + ...+ [f(x_{n-1})+f(x_n)] * \frac{h}{2} \\ &= \frac{h}{2} * [f(x_1) + f(x_2) + f(x_2) + f(x_3) + ... + f(x_{n-1}) + f(x_{x-1}) + f(x_n)] \\ &= h[\frac{f(x_0)}{2} +f(x_1) +f(x_2) + ... +f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}] \end{align*} \]

伪代码

/* input: a b n */
h = (b-a)/n
approx = ( f(a) + f(b) )/2.0;
for (i=1;i<n-1;i++){
	x_i = a + h*i;
	approx += f(x_i);
}
approx = h*approx;