1. 题目
请你帮忙设计一个程序，用来找出第 n 个丑数。
丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数。
示例 1：
输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10... 其中第 3 个是 4。
示例 2：
输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12... 其中第 4 个是 6。
示例 3：
输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13... 其中第 5 个是 10。
示例 4：
输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984
提示：
1 <= n, a, b, c <= 10^9
1 <= a * b * c <= 10^18
本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内
来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/ugly-number-iii
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2. 解题
class Solution {
public:
long nthUglyNumber(long n, long a, long b, long c) {
long long mid;
long long lcm_ab = lcm(a,b);//ab的最大公约数
long long lcm_ac = lcm(a,c);// ac
long long lcm_bc = lcm(b,c);// bc
long long lcm_abc = lcm(a,lcm_bc);//abc的最大公约数
//一个周期内，abc的最大公约数假设为n，有多少个丑数？
//是 a 的倍数的 n/a 个 减去重复的 case 4,6,7 case 1
//是 b 的倍数的 n/b 个 减去重复的 case 4,5,7 case 2
//是 c 的倍数的 n/c 个 减去重复的 case 5,6,7 case 3
//是 ab 的倍数的 n/lcm_ab 个 减去重复的 case 7 case 4
//是 bc 的倍数的 n/lcm_bc 个 减去重复的 case 7 case 5
//是 ac 的倍数的 n/lcm_ac 个 减去重复的 case 7 case 6
//是 abc 的倍数的 n/lcm_abc = 1 个 case 7
//case1-7汇总：如下
long long count = lcm_abc/a + lcm_abc/b + lcm_abc/c - lcm_abc/lcm_ab - lcm_abc/lcm_ac - lcm_abc/lcm_bc + 1;
long long factor = n/count;//到lcm_abc处有count个丑数，n个丑数还需要几倍
long long rest = n%count;//剩余的个数
long long ans = factor*lcm_abc;//在factor*lcm_abc处已经得到，还差rest个丑数
if(rest > 0)
{
long long l = 1, r = lcm_abc, mid;
while(l <= r)
{
mid = l+((r-l)>>1);
count = mid/a + mid/b + mid/c - mid/lcm_ab - mid/lcm_ac - mid/lcm_bc + mid/lcm_abc;
if(count >= rest)
r = mid-1;
else// if(count < rest)
l = mid+1;
}
ans += l;
}
return ans;
}
long lcm(long a, long b)//最小公倍数
{
return a*b/gcd(a,b);
}
long gcd(long a, long b)//最大公约数
{
long r;
while(b)
{
r = a%b;
a = b;
b = r;
}
return a;
}
};
二分处还可以写做：
while(l < r)
{
mid = l+((r-l)>>1);
count = mid/a + mid/b + mid/c - mid/lcm_ab - mid/lcm_ac - mid/lcm_bc + mid/lcm_abc;
if(count >= rest)//mid处可能是答案，因为最后如[1,2]取不到2，不能mid-1
r = mid;
else// if(count < rest)
l = mid+1;
}
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