问题描述
在中国,很多人都把6和8视为是幸运数字!lxhgww也这样认为,于是他定义自己的“幸运号码”是十进制表示中只包含数字6和8的那些号码,比如68,666,888都是“幸运号码”!但是这种“幸运号码”总是太少了,比如在[1,100]的区间内就只有6个(6,8,66,68,86,88),于是他又定义了一种“近似幸运号码”。lxhgww规定,凡是“幸运号码”的倍数都是“近似幸运号码”,当然,任何的“幸运号码”也都是“近似幸运号码”,比如12,16,666都是“近似幸运号码”。
现在lxhgww想知道在一段闭区间[a, b]内,“近似幸运号码”的个数。
输入格式
输入数据是一行,包括2个数字a和b
输出格式
输出数据是一行,包括1个数字,表示在闭区间[a, b]内“近似幸运号码”的个数
样例输入输出
样例输入
1 10
样例输出
2
数据范围
对于30%的数据,保证1<=a<=b<=1000000
对于100%的数据,保证1<=a<=b<=10000000000
出处
四川省选2010
题目大意
定义集合\(S\)为包含所有\([1,10^{10}]\)中仅由6和8构成的数字的倍数集合。求区\([l,r]\)中属于\(S\)的元素个数。
解析
First of all
想到用类似于数位DP的方法,对每一位枚举选择哪个数,然后对每个构造出来的在区间\([l,r]\)数验证是否是一个幸运数字的倍数。显然,这种做法的复杂度极其之高,我们可以换一种思路。
另一个思路
既然难以验证一个数是不是幸运数字的倍数,那么我们反过来,提前构造出所有幸运数字(具体可用搜索实现),然后枚举他们的倍数,统计有多少个是在\([l,r]\)中,得到答案。
如何统计呢?
引理
对于一个数\(x\),它在区间\([l,r]\)的倍数个数为
\[ \left \lfloor \frac{r}{x} \right \rfloor - \left \lceil \frac{l}{x} \right \rceil+1 \]
所以,是不是对每一个幸运数字代入公式计算一下,累加答案就可以了呢?
容斥
答案是否定的。
一个很简单的道理,48是6和8的倍数,所以它会同时被6和8计算,也就是说,48被重复统计了一次。总结一下,任意几个幸运数字的\(lcm\)都会被重复统计。
拓展:\(lcm\)
\(lcm(a,b)\)指的是\(a\)和\(b\)的最小公倍数。计算公式为\(lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)\)
如果gcd也不知道就自行百度吧。
既然会重复统计\(lcm\),我们就减掉一份两两最小公倍数带来的贡献。但是这样又会重复减掉任意三个数的最小公倍数的贡献,那么我们再加回来,又多加了任意四个数最小公倍数的贡献......。公式化之后就是
\[
ans=\sum_{i}f(a[i])-\sum_{i,j}f(lcm(a[i],a[j]))+\sum_{i,j,k}f(lcm(a[i],a[j],a[k]))-......
\]
其中\(f(x)=\left \lfloor \frac{r}{x} \right \rfloor - \left \lceil \frac{l}{x} \right \rceil+1\),\(a[i]\)为第i个幸运数字。
搜索
有了容斥式,我们来考虑如何计算。用DFS可以很方便的解决。每次枚举一个数是否被选,最后如果选的数个数为奇数就加上\(f(lcm)\),否则减掉。
但这样还是不能通过。
剪枝
- 考虑类似于6和66的关系,66是6的倍数,那么66的倍数也都会被6计算到。所以,我们可以删去所有是其他幸运数字倍数的幸运数字。
- 如果当前\(lcm\)已经大于\(r\),那么显然没有什么枚举下去的必要了。这时就可以剪枝。
- 可以把所有剩下的幸运数字从大到小排序后再DFS。这样在前几个阶段中就删去了很多\(lcm\)大于\(r\)的情况。
一个小问题
即便如此,这道题提交时还是会T几个点。原因是在计算DFS过程中计算\(lcm\)时\(long\ \ long\)溢出了。因此,我们需要使用\(long \ \ double\)类型计算避免此问题。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int lim=10000000000;
int i,j,l,r,num[1000002],cnt,n,ans;
bool vis[1000002];
void make(int x,int now)
{
if(now>lim) return;
if(now!=0) num[++cnt]=now;
make(x+1,now*10+6);
make(x+1,now*10+8);
}
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
void dfs(int x,int cnt,int lcm)
{
if(x==n+1){
if(lcm!=1) ans+=(cnt%2==0?-1:1)*(r/lcm-(l/lcm+(l%lcm==0?0:1))+1);
return;
}
dfs(x+1,cnt,lcm);
long double tmp=1.0*lcm/gcd(lcm,num[x])*num[x];
if(tmp>r) return;
dfs(x+1,cnt+1,tmp);
}
int my_comp(const int &x,const int &y)
{
return x>y;
}
signed main()
{
cin>>l>>r;
make(0,0);
sort(num+1,num+cnt+1);
for(i=1;i<=cnt;i++){
for(j=i+1;j<=cnt;j++){
if(num[j]%num[i]==0) vis[j]=1;
}
}
for(i=1;i<=cnt;i++){
if(!vis[i]) num[++n]=num[i];
}
sort(num+1,num+n+1,my_comp);
dfs(1,0,1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}