可持久化Trie & 可持久化平衡树 专题练习

2023-01-07 09:20:46

【xsy1629】可持久化序列 - 可持久化平衡树

http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/6258827.html

【bzoj4260】REBXOR - Trie

事实上只是一道Trie树的题。

只是被林导钦定成可持久化的了。

区间异或和，转化为前缀异或和。

预处理向前最大的异或和，向后最大的异或和，和前缀最大异或和，枚举分割点求答案。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for (int i=(a);i>=(b);i--)

const int N=524288;
const int B=30;
const int S=16777216;
const int MIN=INT_MIN;

int n;
int a[N];

int pre[N],tot_Pre[N];
int suf[N];
int res;

namespace Trie {
    int rt,tot;
    struct Node {
        int c[2];
        Node(void) {
            c[0]=c[1]=0;
        }
    }tr[S];

    void Init(void) {
        rep(i,1,tot) tr[i]=Node();
        rt=tot=1;
    }

    void Ins(int &x,int num,int bit) {
        if (!x) x=++tot;
        if (bit==-1) return;
        Ins(tr[x].c[num>>bit&1],num,bit-1);
    }

    int Query_Max(int x,int num,int bit) {
        if (bit==-1) return 0;
        int dir=((num>>bit&1)^1);
        if (tr[x].c[dir]>0) {
            int t=Query_Max(tr[x].c[dir],num,bit-1);
            return t+(1<<bit);
        }
        else {
            int t=Query_Max(tr[x].c[dir^1],num,bit-1);
            return t;
        }
    }
}
using namespace Trie;

int rd(void) {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while (isdigit(c)) {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        freopen("a.out","w",stdout);
    #endif

    n=rd();
    rep(i,1,n) a[i]=rd();
    rep(i,1,n) a[i]^=a[i-1];

    Init();
    rep(i,1,n) {
        Ins(rt,a[i-1],B);
        pre[i]=Query_Max(rt,a[i],B);
    }
    tot_Pre[1]=pre[1];
    rep(i,2,n)
        tot_Pre[i]=max(tot_Pre[i-1],pre[i]);

    Init();
    per(i,n,1) {
        Ins(rt,a[i],B);
        suf[i]=Query_Max(rt,a[i-1],B);
    }

    res=MIN;
    per(i,n,2) {
        int t=tot_Pre[i-1]+suf[i];
        res=max(res,t);
    }
    printf("%d\n",res);

    return 0;
}

【bzoj3439】Kpm的MC密码 - Trie + Treap启发式合并

传送门

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3439

分析

把串反过来，那么相当于问每一个字符串的后缀中编号第\(k\)小的。

考虑建一棵Trie，那么就是询问某个子树内编号的第\(k\)小。

方法1：

转化为dfs序，用可持久化线段树来求解。

或者离线后乱搞。

方法2：

把Trie进行DFS，启发式合并。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)

#define VI vector<int>
#define pb push_back

const int L=524288;
const int A=26;
const int N=131072;

int n;
char s[L];

int rt,tot;
struct Trie {
    int c[A];
    VI pt;
}tr[L];

int k[N];
int ans[N];

int root[L]; //int tot;
struct Treap {
    int c[2];
    int key,fix;
    int siz;
    Treap(int _key=0,int _siz=0) {
        c[0]=c[1]=0;
        key=_key,fix=rand();
        siz=_siz;
    }
}trp[L];
struct D {
    int c[2];
    D(void) {
        c[0]=c[1]=0;
    }
};

void Ins_Trie(int &x,char *s,int len,int id) {
    if (!x) x=++tot;
    if (!len) {
        tr[x].pt.pb(id);
        return;
    }
    Ins_Trie(tr[x].c[s[len]-'a'],s,len-1,id);
}

int New_Node(int key) {
    int x=++tot;
    trp[x]=Treap(key,1);
    return x;
}

void Update(int x) {
    trp[x].siz=trp[trp[x].c[0]].siz+trp[trp[x].c[1]].siz+1;
}

int Merge(int x1,int x2) {
    if (!x1) return x2;
    if (!x2) return x1;
    if (trp[x1].fix<trp[x2].fix) {
        trp[x1].c[1]=Merge(trp[x1].c[1],x2);
        Update(x1);
        return x1;
    }
    else {
        trp[x2].c[0]=Merge(x1,trp[x2].c[0]);
        Update(x2);
        return x2;
    }
}

D Split_Key(int x,int key) {
    D t; if (!x) return t;
    if (key<trp[x].key) {
        t=Split_Key(trp[x].c[0],key);
        trp[x].c[0]=t.c[1]; Update(x);
        t.c[1]=x;
    }
    else {
        t=Split_Key(trp[x].c[1],key);
        trp[x].c[1]=t.c[0]; Update(x);
        t.c[0]=x;
    }
    return t;
}

D Split(int x,int rk) {
    D t; if (!x) return t;
    if (rk<=trp[trp[x].c[0]].siz) {
        t=Split(trp[x].c[0],rk);
        trp[x].c[0]=t.c[1]; Update(x);
        t.c[1]=x;
    }
    else if (rk==trp[trp[x].c[0]].siz+1) {
        t.c[1]=trp[x].c[1];
        trp[x].c[1]=0; Update(x);
        t.c[0]=x;
    }
    else {
        t=Split(trp[x].c[1],rk-1-trp[trp[x].c[0]].siz);
        trp[x].c[1]=t.c[0]; Update(x);
        t.c[0]=x;
    }
    return t;
}

void Add_Point(int &to,int x) {
    D t=Split_Key(to,trp[x].key);
    to=Merge(t.c[0],x); to=Merge(to,t.c[1]);
}

void Add_Tree(int &to,int x) {
    if (!x) return;
    Add_Tree(to,trp[x].c[0]);
    Add_Tree(to,trp[x].c[1]);
    trp[x].c[0]=trp[x].c[1]=0; Update(x);
    Add_Point(to,x);
}

int Join(int x1,int x2) {
    if (trp[x1].siz<trp[x2].siz) swap(x1,x2);
    Add_Tree(x1,x2);
    return x1;
}

int Query_Kth(int x,int rk) {
    int siz=trp[x].siz;
    if (!(1<=rk&&rk<=siz)) return -1;
    D t1=Split(x,rk-1);
    D t2=Split(t1.c[1],1);
    int g=trp[t2.c[0]].key;
    x=Merge(t1.c[0],t2.c[0]); x=Merge(x,t2.c[1]);
    return g;
}

void DFS(int x) {
    rep(i,0,A-1)
        if (tr[x].c[i]>0)
            DFS(tr[x].c[i]);
    rep(i,0,A-1)
        if (tr[x].c[i]>0)
            root[x]=Join(root[x],root[tr[x].c[i]]);
    rep(i,1,tr[x].pt.size()) {
        int p=New_Node(tr[x].pt[i-1]);
        Add_Point(root[x],p);
    }
    rep(i,1,tr[x].pt.size()) {
        int p=tr[x].pt[i-1];
        ans[p]=Query_Kth(root[x],k[p]);
    }
}

int rd(void) {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while (isdigit(c)) {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        freopen("a.out","w",stdout);
    #endif

    srand(time(0));

    n=rd(); rt=tot=1;
    rep(i,1,n) {
        scanf("%s",s+1);
        Ins_Trie(rt,s,strlen(s+1),i);
    }

    rep(i,1,n) k[i]=rd();
    DFS(rt);
    rep(i,1,n)
        printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;
}

小结

（1）对于一棵树上的子树的离线询问，可以考虑使用启发式合并来求解。

（2）树上询问的处理技巧：

  • dfs序的性质，虚树
  • 树链剖分
  • LCT
  • 树上倍增，树上倍增dp
  • 树上莫队
  • 点分治
  • 离线dfs，启发式合并

【bzoj3261】最大异或和 - 可持久化Trie

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>

#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)

const int LEN=1048576;
const int S=16777216;
const int BIT=23;

int n,a[LEN];
int m;

int tot,rt[LEN],tms;
struct Trie {
    int c[2],cnt;
    Trie(void) {
        c[0]=c[1]=cnt=0;
    }
}tr[S];

int rd(void) {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while (isdigit(c)) {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}

int Ins(int x,int bit,int num) {
    int now=++tot; tr[now]=tr[x]; tr[now].cnt++;
    if (bit==-1) return now;
    tr[now].c[num>>bit&1]=Ins(tr[x].c[num>>bit&1],bit-1,num);
    return now;
}

int Query(int x1,int x2,int bit,int num) {
    if (bit==-1) return 0;
    int prefer=((num>>bit&1)^1);
    int cnt=tr[tr[x2].c[prefer]].cnt-tr[tr[x1].c[prefer]].cnt;
    if (cnt>0) {
        int t=Query(tr[x1].c[prefer],tr[x2].c[prefer],bit-1,num);
        return t+(1<<bit);
    }
    else {
        int t=Query(tr[x1].c[prefer^1],tr[x2].c[prefer^1],bit-1,num);
        return t;
    }
}

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        freopen("a.out","w",stdout);
    #endif

    n=rd(),m=rd();
    rep(i,1,n) a[i]=rd();
    rep(i,2,n) a[i]^=a[i-1];
    rep(i,0,n)
        rt[i]=Ins(rt[i-1],BIT,a[i]);
    tms=0;

    rep(i,1,m) {
        scanf("\n"); char c=getchar();
        if (c=='A') {
            int x=rd(); a[n+1]=(x^a[n]);
            rt[n+1]=Ins(rt[n],BIT,a[n+1]);
            n++;
        }
        else {
            int l=rd(),r=rd(),x=rd();
            int ans=Query(rt[l-2>=0?l-2:n+1],rt[r-1],BIT,a[n]^x);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }

    return 0;
}

【bzoj3166】ALO - Treap+可持久化Trie树

枚举次大值的坐标，那么可以通过前驱、后继得到一段区间。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <ctime>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)

const int N=65536;
const int S=2097152;
const int BIT=30;

int n;
int a[N];

int tot,rt[N];
struct Trie {
    int c[2]; int cnt;
    Trie(void) {
        c[0]=c[1]=cnt=0;
    }
}tr[S];

int ord[N]; int mx;
int root;
struct Treap {
    int c[2];
    int key,fix;
    int siz;
    Treap(int _key=0,int _siz=0) {
        c[0]=c[1]=0;
        key=_key,fix=rand();
        siz=_siz;
    }
}p[N];
struct D {
    int c[2];
    D(void) {
        c[0]=c[1]=0;
    }
};

int ans;

int rd(void) {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while (isdigit(c)) {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}

int Ins_Trie(int x,int bit,int num) {
    int now=++tot; tr[now]=tr[x]; tr[now].cnt++;
    if (bit==-1) return now;
    tr[now].c[num>>bit&1]=Ins_Trie(tr[x].c[num>>bit&1],bit-1,num);
    return now;
}

int Query_Trie(int x1,int x2,int bit,int num) {
    if (bit==-1) return 0;
    int prefer=((num>>bit&1)^1);
    int cnt=tr[tr[x2].c[prefer]].cnt-tr[tr[x1].c[prefer]].cnt;
    if (cnt>0) {
        int t=Query_Trie(tr[x1].c[prefer],tr[x2].c[prefer],bit-1,num);
        return t+(1<<bit);
    }
    else {
        int t=Query_Trie(tr[x1].c[prefer^1],tr[x2].c[prefer^1],bit-1,num);
        return t;
    }
}

int New_Node(int key) {
    int x=++tot;
    p[x]=Treap(key,1);
    return x;
}

void Update(int x) {
    p[x].siz=p[p[x].c[0]].siz+p[p[x].c[1]].siz+1;
}

int Merge(int x1,int x2) {
    if (!x1) return x2;
    if (!x2) return x1;
    if (p[x1].fix<p[x2].fix) {
        p[x1].c[1]=Merge(p[x1].c[1],x2);
        Update(x1);
        return x1;
    }
    else {
        p[x2].c[0]=Merge(x1,p[x2].c[0]);
        Update(x2);
        return x2;
    }
}

D Split_Key(int x,int key) {
    D t; if (!x) return t;
    if (key<p[x].key) {
        t=Split_Key(p[x].c[0],key);
        p[x].c[0]=t.c[1]; Update(x);
        t.c[1]=x;
    }
    else {
        t=Split_Key(p[x].c[1],key);
        p[x].c[1]=t.c[0]; Update(x);
        t.c[0]=x;
    }
    return t;
}

D Split(int x,int rk) {
    D t; if (!x) return t;
    if (rk<=p[p[x].c[0]].siz) {
        t=Split(p[x].c[0],rk);
        p[x].c[0]=t.c[1]; Update(x);
        t.c[1]=x;
    }
    else if (rk==p[p[x].c[0]].siz+1) {
        t.c[1]=p[x].c[1];
        p[x].c[1]=0; Update(x);
        t.c[0]=x;
    }
    else {
        t=Split(p[x].c[1],rk-1-p[p[x].c[0]].siz);
        p[x].c[1]=t.c[0]; Update(x);
        t.c[0]=x;
    }
    return t;
}

int Pre_Pre(int x) {
    D t1=Split_Key(root,x);
    int siz=p[t1.c[0]].siz,id;
    if (siz==1) {
        id=-1;
        root=Merge(t1.c[0],t1.c[1]);
    }
    else if (siz==2) {
        id=0;
        root=Merge(t1.c[0],t1.c[1]);
    }
    else {
        D t2=Split(t1.c[0],siz-3);
        D t3=Split(t2.c[1],1);
        id=p[t3.c[0]].key;
        root=Merge(t3.c[0],t3.c[1]);
        root=Merge(t2.c[0],root);
        root=Merge(root,t1.c[1]);
    }
    return id;
}

int Nxt_Nxt(int x) {
    D t1=Split_Key(root,x-1);
    int siz=p[t1.c[1]].siz,id;
    if (siz==1) {
        id=-1;
        root=Merge(t1.c[0],t1.c[1]);
    }
    else if (siz==2) {
        id=n+1;
        root=Merge(t1.c[0],t1.c[1]);
    }
    else {
        D t2=Split(t1.c[1],2);
        D t3=Split(t2.c[1],1);
        id=p[t3.c[0]].key;
        root=Merge(t3.c[0],t3.c[1]);
        root=Merge(t2.c[0],root);
        root=Merge(t1.c[0],root);
    }
    return id;
}

void Insert(int &rt,int key) {
    int x=New_Node(key);
    D t=Split_Key(rt,key);
    rt=Merge(t.c[0],x); rt=Merge(rt,t.c[1]);
}

int cmp(int x,int y) {
    return a[x]>a[y];
}

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        freopen("a.out","w",stdout);
    #endif

    srand(2016+02+20);

    n=rd();
    rep(i,1,n) a[i]=rd();
    mx=*max_element(a+1,a+n+1);
    rep(i,1,n)
        rt[i]=Ins_Trie(rt[i-1],BIT,a[i]);

    rep(i,1,n) ord[i]=i;
    sort(ord+1,ord+n+1,cmp);
    tot=0;
    rep(i,1,n) {
        int loc=ord[i];
        Insert(root,loc);
        int x=Nxt_Nxt(loc);
        if (!(x==-1&&mx==a[loc])) {
            if (x==-1) x=n+1;
            if (loc+1<=x-1) {
                int t=Query_Trie(rt[loc],rt[x-1],BIT,a[loc]);
                ans=max(ans,t);
            }
        }
        x=Pre_Pre(loc);
        if (!(x==-1&&mx==a[loc])) {
            if (x==-1) x=0;
            if (x+1<=loc-1) {
                int t=Query_Trie(rt[x],rt[loc-1],BIT,a[loc]);
                ans=max(ans,t);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}
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