K远点对

题目链接：ybt金牌导航4-2-3 / luogu P4357

题目大意

一个平面上有一些点，你要找到第 K 远对点之间的距离。
距离是用勾股的那个算。

思路

那你看到平面距离自然想到 K-D tree。

那你看到它要所有两对点，那你就把每两个点之间的距离都放进去比较。
然后你就想到先把每个点丢进 K-D tree 里面，然后再用所有的点轮流去查询，然后把所有的距离用堆维护出前 \(k\) 大。
然后你会发现 \(a\) 到 \(b\) 和 \(b\) 到 \(a\) 你是比较了两次的，但它其实只算一次。
（你 \(a\) 会查询到 \(b\)，\(b\) 会查询到 \(a\)）

那也就是说，两个点之间的距离会被放进去两次，那你很容易想到，你就直接搞一个 \(2k\) 的堆，然后最后的堆顶就是我们的第 \(k\) 大了。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define INF 10000000

using namespace std;

struct zb {
	int w[2];
}a[200001];
struct KDtree {
	int l, r, ma[2], mi[2];
}tree[200001];
int n, k, root, WD, num[200001];
priority_queue <ll, vector<ll>, greater<ll> > q;

bool cmp(int x, int y) {
	return a[x].w[WD] < a[y].w[WD];
}

void up(int now) {
	for (int i = 0; i < 2; i++) {
		tree[now].ma[i] = tree[now].mi[i] = a[now].w[i];
		if (tree[now].l) {
			tree[now].ma[i] = max(tree[now].ma[i], tree[tree[now].l].ma[i]);
			tree[now].mi[i] = min(tree[now].mi[i], tree[tree[now].l].mi[i]);
		}
		if (tree[now].r) {
			tree[now].ma[i] = max(tree[now].ma[i], tree[tree[now].r].ma[i]);
			tree[now].mi[i] = min(tree[now].mi[i], tree[tree[now].r].mi[i]);
		}
	}
}

int build(int l, int r, int wd) {
	if (l > r) return 0;
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	WD = wd;
	nth_element(num + l, num + mid, num + r + 1, cmp);
	
	int now = num[mid];
	tree[now].l = build(l, mid - 1, wd ^ 1);
	tree[now].r = build(mid + 1, r, wd ^ 1);
	
	up(now);
	return now;
}

ll get_dis(zb x, zb y) {
	ll X = x.w[0] - y.w[0];
	ll Y = x.w[1] - y.w[1];
	return X * X + Y * Y;
}

ll abss(ll x) {
	if (x < 0) return -x;
	return x;
}

ll blog_dis(zb x, KDtree y) {
	ll X = max(abss(x.w[0] - y.ma[0]), abss(x.w[0] - y.mi[0]));
	ll Y = max(abss(x.w[1] - y.ma[1]), abss(x.w[1] - y.mi[1]));
	return X * X + Y * Y;
}

void query(zb now, int root) {
	if (!root) return ;
	ll diss = get_dis(now, a[root]);
	if (diss > q.top()) {
		q.pop();
		q.push(diss);
	}
	
	ll ldis = -INF;
	ll rdis = -INF;
	if (tree[root].l) ldis = blog_dis(now, tree[tree[root].l]);
	if (tree[root].r) rdis = blog_dis(now, tree[tree[root].r]);
	
	if (ldis > rdis) {
		if (ldis > q.top()) query(now, tree[root].l);
		if (rdis > q.top()) query(now, tree[root].r);
	}
	else {
		if (rdis > q.top()) query(now, tree[root].r);
		if (ldis > q.top()) query(now, tree[root].l);
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d %d", &a[i].w[0], &a[i].w[1]);
		num[i] = i;
	}
	
	root = build(1, n, 0);
	
	k <<= 1;//由于 a 到 b 和 b 到 a 两个是一样的但算了两次，所以我们索性就求出你这些所有距离的第 2k 大
	for (int i = 1; i <= k; i++) q.push(-1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//把每个点和其他点之间的距离都比较一次，维护前 2k 大
		query(a[i], root);
	}
	
	printf("%lld", q.top());
	
	return 0;
}