题目链接
链接：https://leetcode.com/problems/max-sum-of-rectangle-no-larger-than-k/description/
题解&代码
1、暴力枚举所有的情况，时间复杂度O(n2*m2)，实际耗时759 ms
class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int> >& matrix, int k) {
int n=matrix.size(),m=matrix[0].size();
vector<vector<int> > sumv(n+1,vector<int>(m+1,0));
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=m; j++) {
sumv[i][j]=matrix[i-1][j-1]+sumv[i-1][j]+sumv[i][j-1]-sumv[i-1][j-1];
}
}
int ans=-INF;
for(int i1=1;i1<=n;i1++){
for(int j1=1;j1<=m;j1++){
for(int i2=i1;i2<=n;i2++){
for(int j2=j1;j2<=m;j2++){
int val=sumv[i2][j2]-sumv[i1-1][j2]-sumv[i2][j1-1]+sumv[i1-1][j1-1];
if(val<=k){
ans=max(ans,val);
}
}
}
}
}
return ans;
}
private:
static const int INF=0x3f3f3f3f;
};
2、先通过枚举一维进行降维，然后再暴力枚举所有区间，时间复杂度O(m2*n2)，实际耗时736ms。
class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int> >& matrix, int k) {
int n=matrix.size(),m=matrix[0].size();
vector<vector<int> > sumv(n+1,vector<int>(m+1,0));
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=m; j++) {
sumv[i][j]=sumv[i][j-1]+matrix[i-1][j-1];
}
}
int ans=-INF;
vector<int> arr(n+1);
for(int len=1; len<=m; len++) {
for(int j=len; j<=m; j++) {
arr[0]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
int val=sumv[i][j]-sumv[i][j-len];
arr[i]=val+arr[i-1];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
int x=arr[i]-arr[j];
if(x<=k) ans=max(ans,x);
}
}
}
}
return ans;
}
private:
static const int INF=0x3f3f3f3f;
};
3、 第2种方法基础上加一个剪枝，在枚举区间之前，先用dp(O(n))求出最大值区间和最小值区间，然后判断k是否在区间内，时间复杂度：‘玄学’，实际耗时19ms。
class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int> >& matrix, int k) {
int n=matrix.size(),m=matrix[0].size();
vector<vector<int> > sumv(n+1,vector<int>(m+1,0));
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=m; j++) {
sumv[i][j]=sumv[i][j-1]+matrix[i-1][j-1];
}
}
int ans=-inf;
vector<int> arr(n+1);
for(int len=1; len<=m; len++) {
for(int j=len; j<=m; j++) {
arr[0]=0;
LL mi=inf,ma=-inf;
LL pre=inf,aft=-inf;
for(int i=1; i<=n; i++) {
int val=sumv[i][j]-sumv[i][j-len];
arr[i]=val+arr[i-1];
pre=min(pre+val,(LL)val);
aft=max(aft+val,(LL)val);
mi=min(mi,pre);
ma=max(ma,aft);
}
if(k<mi) continue;
else if(k==mi) {
ans=k;
} else if(k>=ma) {
ans=max((LL)ans,ma);
} else {
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=0; j<i; j++) {
int x=arr[i]-arr[j];
if(x<=k) ans=max(ans,x);
}
}
if(ans==k) return ans;
}
}
}
return ans;
}
private:
static const int inf=0x7fffffff;
typedef long long LL;
};
4、正解：先降维，然后枚举区间终点，用set维护前缀和，用lower_bound去查区间起点，从而O(nlogn)的复杂度解决该问题的一维版本。加上降维的时间复杂度为O(m^2*nlogn)。实际耗时：259ms。
class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int> >& matrix, int k) {
int n=matrix.size(),m=matrix[0].size();
vector<vector<int> > sumv(n+1,vector<int>(m+1,0));
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=m; j++) {
sumv[i][j]=sumv[i][j-1]+matrix[i-1][j-1];
}
}
int ans=-INF;
vector<int> pre(n+1),arr(n+1);
set<pair<int,int> > myset;
set<pair<int,int> >::iterator it;
for(int len=1; len<=m; len++) {
for(int j=len; j<=m; j++) {
pre[0]=0;
myset.clear();
for(int i=1; i<=n; i++) {
arr[i]=sumv[i][j]-sumv[i][j-len];
pre[i]=arr[i]+pre[i-1];
myset.insert(make_pair(pre[i],i));
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(arr[i]<=k) ans=max(ans,arr[i]);
int key=k-arr[i]+pre[i];
it=myset.lower_bound(make_pair(key,0x7fffffff));
if(it!=myset.begin()){
it--;
int tmp=it->first;
ans=max(ans,tmp-pre[i]+arr[i]);
}
myset.erase(make_pair(pre[i],i));
}
}
}
return ans;
}
private:
static const int INF=0x7fffffff;
};
5、正解优化版本（空间优化+常数优化）实际耗时：162ms。
class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int> >& matrix, int k) {
int n=matrix.size(),m=matrix[0].size();
int mi=min(n,m),ma=max(n,m);
bool isColMax=m>n;
int ans=-2147483648;
for(int st=1; st<=mi; st++) {
vector<int> arr(ma+1,0);
for(int ed=st; ed<=mi; ed++) {
set<int> myset;
int cnt=0;
myset.insert(cnt);
for(int i=1; i<=ma; i++) {
arr[i]+=isColMax?matrix[ed-1][i-1]:matrix[i-1][ed-1];
cnt+=arr[i];
set<int>::iterator it=myset.lower_bound(cnt-k);
if(it!=myset.end()) ans=max(ans,cnt-*it);
myset.insert(cnt);
}
}
}
return ans;
}
};
6、方法5+方法3提到的dp剪枝：实际耗时：19ms。
class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int> >& matrix, int k) {
int n=matrix.size(),m=matrix[0].size();
int mi=min(n,m),ma=max(n,m);
bool isColMax=m>n;
int ans=-2147483648;
for(int st=1; st<=mi; st++) {
vector<int> arr(ma+1,0);
for(int ed=st; ed<=mi; ed++) {
set<int> myset;
int cnt=0;
myset.insert(cnt);
for(int i=1; i<=ma; i++) {
arr[i]+=isColMax?matrix[ed-1][i-1]:matrix[i-1][ed-1];
cnt+=arr[i];
set<int>::iterator it=myset.lower_bound(cnt-k);
if(it!=myset.end()) ans=max(ans,cnt-*it);
myset.insert(cnt);
}
}
}
return ans;
}
};