题意:
求出满足要求的数组个数:
\(1\leq a[i] \leq n,1\leq a[1]<a[2]<...<a[k]\leq n\),元素个数为:\(k\)
分析:
问题取决于最小的元素 \(a[1]\) 。
设 \(x=n*a[1]+m\),则\(x%a[1]=m\),即 \(x%a[1]%a[2]%...%a[n]=m\)。
要使的 \(x%a[i]=m\),即 \(x=a[i]*n'+m\),所以 \(a[i]\) 是 \(a[1]\) 的倍数。
所以,可以枚举 \(a[1]\) 的取值,剩下的 \(k-1\) 个数在其倍数中选择,最终的结果为:\(\sum_{i=1}^{n}{C(\frac{n}{i}-1,k-1)}\)。
需要预处理出阶乘逆元:\(inv[i]=inv[i+1]*(i+1)\)
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
const int N=5e5+5;
ll inv[N],fac[N];
ll power(ll a,ll b)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
b>>=1;
a=a*a%mod;
}
return res%mod;
}
void init()
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=5e5;i++)
fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
int t=5e5;
inv[t]=power(fac[t],1LL*(mod-2));
for(int i=t-1;i>=0;i--)//注意要到0,会用到inv[0]
inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(int x,int y)
{
if(x<y) return 0;
ll res=1;
y=min(x-y,y);
for(int i=x;i>=x-y+1;i--)
res=res*i%mod;
res=res*inv[y]%mod;
return res;
}
int main()
{
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
ll ans=0;
init();
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+C(n/i-1,k-1))%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}