OpenCV 之 自定义滤波

    图像处理中,"空间域" 指的是图像平面,因此,空间滤波 可定义为:在图像平面内对像素灰度值进行的滤波 

1  空间滤波 

1.1  滤波过程

    如图,Filter 是一个 3x3 滤波核,当它从图像的左上角开始,逐个像素沿水平方向扫描,最后到右下角时,便会产生滤波后的图像

       OpenCV 之 自定义滤波

   假设输入图像 $f(x, y)$,滤波后的图像为  $g(x, y)$,则其中 $g(2,2)$ 和 $g(4,4)$ 的计算过程如下:

      OpenCV 之 自定义滤波              OpenCV 之 自定义滤波

    上图中,以像素 (4,4) 为中心的 3x3 邻域,和滤波核的向量点乘之积,即为 g(4,4) 

      g(4,4) = 240*0.1111 + 183*0.1111 + 0*0.1111 + 250*0.1111 + 12*0.1111 + 87*0.1111 + 255*0.1111 + 1*0.1111 + 94*0.1111

                 = 26.6666 + 20.3333 + 0 + 27.7777 + 1.3333 + 9.6666 + 28.3333 + 0 + 10.4444

                 = 124.55       

1.2  相关和卷积

    空间滤波中,相关和卷积,是容易混淆的概念,定义如下:

     -  相关 (Correlation),和上述的滤波过程一样,即 滤波核 逐行扫描图像,并计算 每个位置像素点积 的过程

     -  卷积 (Convolution),和 "相关" 过程类似,但 滤波核 要 先旋转 180°,然后再执行和 “相关” 一样的操作

           (二维中的旋转 180°,等于滤波核沿一个坐标轴翻转,然后再沿另一个坐标轴翻转)

          OpenCV 之 自定义滤波

    注意:如果滤波核是对称的,则对图像进行相关和卷积的结果是一致的

 

2  OpenCV 函数

2.1  filter2D 函数

    在 OpenCV 中,可自定义滤波核,然后通过 filter2D() 来完成图像滤波

 void filter2D(
     InputArray     src,              // 输入图像 
     OutputArray    dst,              // 输出图像(大小和通道数,同 src)
     int            ddepth,           // 输出图像的 depth
     InputArray     kernel,           // 滤波核,准确地说,是相关核
     Point  anchor = Point(-1,-1),    // 锚点位置,滤波核尺寸为奇数时,不用指定,一般取默认值 Point(-1,-1);滤波核尺寸为偶数时,需指定锚点位置
     double             delta = 0,    // optional value added to the filtered pixels before storing them in dst      
     int borderType = BORDER_DEFAULT  // 边界处理方法
 );

    filter2D() 求的是 相关,并非 卷积,只有当滤波核对称时,filte2D() 才可视为卷积运算,其公式如下:

    $\quad dst(x, y) = \sum \limits_{0 \leq x' <kernel.cols, \\ 0 \leq y'<kernel.rows} \: kernel(x', y') * src(x+x'-anchor.x, \; y+y'-anchor.y) $

    假定滤波核 kernel 大小为 3x3,以一个像素点 src(4,4) 为例,则有:

      dst(4,4) =   kernel(0,0)*src(4+0-1, 4+0-1) + kernel(0,1)*src(4+0-1, 4+1-1) + kernel(0,2)*src(4+0-1, 4+2-1)

                      + kernel(1,0)*src(4+1-1, 4+0-1) + kernel(1,1)*src(4+1-1, 4+1-1) + kernel(1,2)*src(4+1-1, 4+2-1)

                      + kernel(2,0)*src(4+2-1, 4+0-1) + kernel(2,1)*src(4+2-1, 4+1-1) + kernel(2,2)*src(4+2-1, 4+2-1) 

    滤波核与输入图像的卷积点乘,对应关系如下:

      OpenCV 之 自定义滤波 

2.2  flip 函数

    当滤波核不对称时,要得到真正的卷积运算,还需 flip() 函数来完成 kernel 的二维翻转

  void flip(
      InputArray  src,  // input array
      OutputArray dst,  // output array
      int    flipCode   // 0, flip around x-axis; positive value, flip around y-axis; negative value, flip around both axes.
  );

    如果滤波核的大小为奇数,则 filter2D() 中的锚点位置可设为 Point(-1,-1),此时,默认滤波核的中心为锚点;如果滤波核的大小为偶数,则需要自定义锚点位置

    OpenCV 中锚点位置的实现函数 normalizeAnchor() 如下:

  static inline Point normalizeAnchor(Point anchor, Size ksize)
  {
      if (anchor.x == -1)
          anchor.x = ksize.width / 2;
      if (anchor.y == -1)
          anchor.y = ksize.height / 2;
      CV_Assert(anchor.inside(Rect(0, 0, ksize.width, ksize.height)));
      return anchor;
  }

 

3  代码示例

 3.1  偏导数

    自定义滤波核,利用 filter2D() 函数,实现图像的一阶和二阶偏导运算   

   1)  一阶偏导

    图像在 x 和 y 方向的一阶偏导如下:

    $\quad \frac {\partial f}{\partial x} = f(x+1,y) - f(x,y)$

    $\quad \frac {\partial f}{\partial y} = f(x, y+1) - f(x, y)$

    对应滤波核为 $K_{x} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} $,$K_{y} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

    2)  二阶偏导

    同样,在 x 和 y 方向的二阶偏导如下:

    $\quad \frac {\partial f^2} {\partial x^2} = f(x+1, y) + f(x-1, y)- 2f(x,y)$

    $\quad \frac {\partial f^2}{\partial y^2} = f(x, y+1) + f(x, y-1)- 2f(x,y)$

    $\quad \frac {\partial f^2}{\partial x \partial y} = f(x+1, y+1) - f(x+1, y) - f(x, y+1)+ f(x,y)$

    对应滤波核为 $K_{xx} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $,$K_{yy} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $,$K_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $

 3.2 代码示例

#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace cv;

int main()
{
    // 读取图像
    Mat src = imread("fangtze.jpg", IMREAD_GRAYSCALE);
    if (src.empty()) {
        return -1;
    }

    Mat kx = (Mat_<float>(1, 2) << -1, 1);  // 1行2列的 dx 滤波核
    Mat ky = (Mat_<float>(2, 1) << -1, 1);  // 2行1列的 dy 滤波核

    Mat kxx = (Mat_<float>(1, 3) << 1, -2, 1);     // 1行3列的 dxx 滤波核
    Mat kyy = (Mat_<float>(3, 1) << 1, -2, 1);     // 3行1列的 dyy 滤波核
    Mat kxy = (Mat_<float>(2, 2) << 1, -1, -1, 1); // 2行2列的 dxy 滤波核

    // 一阶偏导
    Mat dx, dy;
    filter2D(src, dx, CV_32FC1, kx);
    filter2D(src, dy, CV_32FC1, ky);

    // 二阶偏导
    Mat dxx, dyy, dxy;
    filter2D(src, dxx, CV_32FC1, kxx);
    filter2D(src, dyy, CV_32FC1, kyy);
    filter2D(src, dxy, CV_32FC1, kxy);

    // 显示图像
    imshow("dx", dx);

    waitKey();
}

    输出的偏导图像如下,第一行从左到右:原图 - dx - dy;第二行从左至右:dxy - dxx -dyy

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参考资料

  OpenCV Tutorials / imgproc module / Making your own linear filters

  Gonzalez,《Digital Image Processing》4th  ch3 Intesity Transformations and Spatial Filtering

  CS425 Lab: Intensity Transformations and Spatial Filtering

 

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