当年已经学过了，可是忘光了。从知乎上找到了一个课程，可是和之前老师讲的不一样，在这里说明一下。
求解微分方程，是解一个含有微分的方程。因为含有微分，它和一般的方程可不一样，求解的结果里会具有一个常数\(C\)。若想要去掉这个常数\(C\)，需要附加条件。这个附加条件表现为：
\[y'(x_1)=e_1,\\ y(x_2)=e_2 \]假若\(x_1=x_2\)，称这个附加条件下的问题为初值问题。反之，则称为条件值问题。一般遇见的都是初值问题。
在微分形式以及它的变种中，初值条件仅仅为:
\[y(x_0)=y_0 \]要解决初值问题，本质上不需要寻找额外的方法。只要完成了求解，再代入初值即可解决初值问题。当然，或许存在额外的解法。
大抵来说，这个教程的内容是：将微分方程分为几类，在这之后，每一类都有自己的独特解法。
微分方程的分类与计算
- 标准形式
当然，这只是一个范例。如果标准形式也存在着解法，我们就没有必要去讨论不同形式下的解法了。
- 微分形式
同上标准形式，这只是一个范例。
- 可分离变量的形式
直接进行积分，即可求解。这是求解最简单的一个形式。
\[\int M(x)dx+\int N(y)dy=\int 0=C \]当然，它存在着求解初值问题的额外方法：
\[假设初值条件：\\ y'(x_0)=y_0,\\ 那么，可以求解以： \int_{x_0}^xM(x)+\int_{y_0}^yN(y)=0 \]- 齐次方程
假设一个齐次方程:
\[\frac{dy}{dx}=f(x,y) \]由于不是一个可分离变量的方程，显然不能够直接求解。
由于y是x的函数\((y=y(x))\)，显然这个形式可以变化。比如，\(y=x\cdot y(x)\)，不过这样会在符号的使用上引发问题，所以改写为\(y=x\cdot v(x)\)。
为什么要改写？因为是齐次方程，\(f(tx,ty)=f(x,y)\)，如果\(y=x\cdot v(x)\)，那么有:
最后会变化为可分离变量的形式。
- 恰当方程
首先，我们有着一个确认恰当方程的方法。如下:
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \]如果符合上式，那么这就是一个恰当方程。
接下来，我们就可以根据下式确定\(F(x,y)\)
\[\begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=M(x,y)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=N(x,y) \end{cases} \]确定后，原式可以变化为:
\[dF(x)=0, \int dF(x)=\int 0=0, \therefore F(x)=C(C为任意常数) \]这样就直接得到了对应的隐式解。从这个隐式解，或许可以得到显式解。
额外的情况，即使原方程不是恰当方程，可以将其变化为恰当方程。具体方式为:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \Rightarrow I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 \]在一些情况下，我们可以通过一些固定的方式来寻找这个\(I(x,y)\)，如下:
假若有：
\[(\frac{\partial M}{dy}-\frac{\partial N}{dx})=N\cdot g(x) \quad or\quad M\cdot h(y)\\ \]那么有：
\[I(x,y)=e^{\int g(x)dx \quad or \quad -\int h(y)dy} \]假若有：
\[\begin{cases} M(x,y)=yf(xy)\\ N(x,y)=xg(xy) \end{cases} \]那么有：
\[I(x,y)=\frac{1}{xM-yN} \]- 线性方程
所有的线性方程，都可以变化为恰当方程，且为：
\[(\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}- \frac{\partial N(x,y)}{\partial x})= N \cdot g(x) \]- 伯努利方程
\(令z=y^{1-n}\),即可转化为线性方程。