PCA的学习笔记

2024-03-01 12:41:46

之前我经常使用PCA，但是我发现我没有很懂PCA，这次重新学习机器学习，我想想彻彻底底地搞懂一下，网上也看了很多的资料，似乎对其的理解有了更加进一步的认识。我感觉需要从以下四块来认识PCA。

1. PCA是干什么？就是说PCA解决了什么问题？

2.PCA的数学原理是什么？

3.PCA用python 什么包调用比较方便，理解每个参数的意义？

4.用PCA来实战一个例子？

以上是我的学习思路，PCA-Principal Component Analysis-主成分分析也就是机器学习中的无监督学习

PCA干什么用的

这个干什么用，网上自然有很多的说明，主要就是降维，我以前一直不明白，降低纬度以后，每个纬度代表什么，其实不用这么死理解，需要换个思路，从主成分角度+协方差的角度去思考这个问题，我相当于是建立了一个新的N维坐标，并没有具体的含义，但是按照eigenValue 从大到小排序，使得前几个纬度可以解释大部分的方差变异。

有啥用，就是减少了数据量，方便后面计算，同时可以看到在前几个主成分上，所有样本的分布情况，这样可以看个分类。

#PCA的数学原理是什么？

这里涉及了矩阵的分解，SVD，之前有详细的推导，大家也可以看网上有很多的解释，我主要想说的，可以用当时我考研复习矩阵的时候的一个想法来理解，就是这个其实是矩阵本身的一个性质，所以叫无监督学习，自己学习，推导出自己的一个性质，自己搞自己的感觉，没有外力的加入。
看下面这个理解就很OK
https://www.cnblogs.com/sweetyu/p/5085798.html
https://blog.csdn.net/u012421852/article/details/80458340
https://zhuanlan.zhihu.com/p/37777074

#PCA用python 什么包调用比较方便，理解每个参数的意义？

这里简单地介绍一下sklearn.decomposition.PCA 做个包
可以参考这些解说
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6243025.html
或者说，直接看原包的解释
https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.PCA.html

from sklearn.decomposition import PCA

调入包

n_components : int, float, None or string
主成分的个数

copy : bool (default True)
要不要覆盖原始数据

whiten : bool, optional (default False)
判断是否进行白化。所谓白化，就是对降维后的数据的每个特征进行归一化，让方差都为1.对于PCA降维本身来说，一般不需要白化。如果你PCA降维后有后续的数据处理动作，可以考虑白化。默认值是False，即不进行白化。

svd_solver : string {‘auto’, ‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’}
指定奇异值分解SVD的方法

也可以参考这个
https://blog.csdn.net/u012162613/article/details/42192293
我们来看看官网的例子

>>> import numpy as np  
>>> from sklearn.decomposition import PCA
>>> X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])  # 这是一个矩阵，未经训练的数据
>>> pca = PCA(n_components=2)  # 设定 主成分取两个
>>> pca.fit(X)         # 拿X训练
PCA(copy=True, iterated_power='auto', n_components=2, random_state=None,
  svd_solver='auto', tol=0.0, whiten=False)   # 不覆盖原始数据  这个时候就会训练得到 主成分+向量（训练出来的）
>>> print(pca.explained_variance_ratio_)   # 每个主成分的解释大小
[0.9924... 0.0075...]
>>> print(pca.singular_values_)   # 每个主成分
[6.30061... 0.54980...]

fit_transform(X)
用X来训练PCA模型，同时返回降维后的数据。
newX=pca.fit_transform(X)，newX就是降维后的数据。

inverse_transform()
将降维后的数据转换成原始数据，X=pca.inverse_transform(newX)

transform(X)
将数据X转换成降维后的数据。当模型训练好后，对于新输入的数据，都可以用transform方法来降维。

#来个实战的例子吧

这个我也是网上看了这些个例子，慢慢理解了上面的知识点

https://blog.csdn.net/qq_38825002/article/details/81356377

就是把含有4个纬度的降维到2个纬度

import matplotlib.pyplot as plt                 # 可视化
from sklearn.decomposition import PCA           #PCA的包
from sklearn.datasets import load_iris

data=load_iris() # 导入数据
x = data.data
y = data.target

我们来看看x
也就是数据集 4维数据

y 的话是分类

y=data.target
x=data.data
pca=PCA(n_components=2)     # 手动设置降维到2维
reduced_x=pca.fit_transform(x)         #对X进行降维 然后放到新的reduced_x 中

看看reduced_x 只有两个维度了

然后画个图看看分成了几类

red_x,red_y=[],[]
blue_x,blue_y=[],[]
green_x,green_y=[],[]


for i in range(len(reduced_x)):
    if y[i] ==0:   # 这个y 相当于个体，只是提前已经分类好了
        red_x.append(reduced_x[i][0])   # 把第一维度数值放入
        red_y.append(reduced_x[i][1])   # 把第二维度数值放入

    elif y[i]==1:
        blue_x.append(reduced_x[i][0])
        blue_y.append(reduced_x[i][1])

    else:
        green_x.append(reduced_x[i][0])
        green_y.append(reduced_x[i][1])

#可视化
plt.scatter(red_x,red_y,c='r',marker='x')
plt.scatter(blue_x,blue_y,c='b',marker='D')
plt.scatter(green_x,green_y,c='g',marker='.')
plt.show()

可视化的结果

我现在大概了解PCA了，还有很多需要学的，但是可以使用PCA进行降维和简单的分类了。

最后，PCA也是有过程的只是这个包里面帮你做了，其实可以用python从头搭建的。
主要分为以下这几步骤：

每个特点求平均值
标准化，就是每个数据减去自己特点的标准值
计算这个矩阵的主成分和特征向量
对主成分排序
选择需要的主成分
获得新坐标下的投影矩阵

原始数据是一个矩阵

经过训练得到主成分+特征向量（参数）

然后筛选过主成分的个数之后，获得余下的特征向量和主成分

然后把之前那个矩阵数据投影到新的坐标上（就是刚刚余下的特征向量），获得与余下的特征向量和主成分个数一样（降维之后的维度n）的新坐标，这些坐标的排列与按照主成分大小排列的，所以相当于每个个体，有n个维度的特征。

这篇也讲的很棒
https://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/3429711.html

我觉得还是要再实战去理解

先推导了一下

再试了试，是可以

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])

# 6行 2列  数据只有2维度 2个属性  相当于 6个个体  2个属性

print(X)

pca = PCA(n_components=1)  # 设置PCA的个数  PCA是一个对象

pca.fit(X) # 用 X 训练

print(pca.explained_variance_ratio_) # 解释方差的大小

print(pca.singular_values_) # 主成分的内容



Y = pca.fit_transform(X) # 正交变换与投影

print(Y)

Z1 = np.array([[-3, -2], [1, 90]]) # 用训练好的模型降维度
Z = pca.transform(Z1)

print(Z)

结果

[[-1 -1]
 [-2 -1]
 [-3 -2]
 [ 1  1]
 [ 2  1]
 [ 3  2]]
[0.99244289]
[6.30061232]
[[ 1.38340578]
 [ 2.22189802]
 [ 3.6053038 ]
 [-1.38340578]
 [-2.22189802]
 [-3.6053038 ]]
[[  3.6053038 ]
 [-49.88071091]]

码农公寓

1. PCA是干什么？ 就是说PCA解决了什么问题？

2.PCA的数学原理是什么？

3.PCA用python 什么包调用比较方便，理解每个参数的意义？

4.用PCA来实战一个例子？

PCA干什么用的

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