多维高斯概率密度函数形式为$f(x,\mu,\Sigma)=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}\Large e ^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$f(x,μ,Σ)=(2π)d/2∣Σ∣1/21​e−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)
其中 $x$x 和 $\mu$μ 是 $d$d 维向量，$\Sigma$Σ 是 $d \times d$d×d的矩阵，$\Sigma$Σ 和 $\mu$μ 是待求参数。

设 $\{x_i\}, i=1 \sim N${xi​},i=1∼N 是符合该密度函数的 $N$N 个样本,那么我们可以利用最大似然法（Maxium Likelihood）求待定参数。目标函数为：$E(\mu,\Sigma)=\sum_{i=1}^N \ln f(x_i,\mu,\Sigma)=-\frac{Nd}{2}\ln (2\pi)-\frac{N}{2}\ln |\Sigma|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^T\Sigma^{-1}(x_i-\mu)$E(μ,Σ)=i=1∑N​lnf(xi​,μ,Σ)=−2Nd​ln(2π)−2N​ln∣Σ∣−21​i=1∑N​(xi​−μ)TΣ−1(xi​−μ)此时，我们假定 $\{x_i\}, i=1 \sim N${xi​},i=1∼N满足独立同分布（independent and identical distribution, i.i.d）。

根据最大似然法的要求，我们要求 $\Sigma$Σ 和 $\mu$μ 使 $E(\mu,\Sigma)$E(μ,Σ)的值最大，由于 $E$E 是凸函数，故可以直接求使偏导数为 $0$0 的参数。这里为了简化计算我们可以求 $\Sigma^{-1}$Σ−1 的偏导，因为行列式容易转换，而后面有一项矩阵如果进行转换回很麻烦，求出 $\Sigma^{-1}$Σ−1 其实也就是求出了$\Sigma$Σ
$\begin{aligned} &\frac{\partial E}{\partial \mu}=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\bigg[\Sigma^{-1}(x_i-\mu)+(\Sigma^{-1})^T(x_i-\mu)\bigg]\times(-1)=0 \\\\ &\frac{\partial E}{\partial (\Sigma^{-1})}=\frac{N}{2}\Sigma^T-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)(x_i-\,u)^T=0 \end{aligned}$​∂μ∂E​=−21​i=1∑N​[Σ−1(xi​−μ)+(Σ−1)T(xi​−μ)]×(−1)=0∂(Σ−1)∂E​=2N​ΣT−21​i=1∑N​(xi​−μ)(xi​−u)T=0​
显然，第二个式子好求，化简得$\Sigma^T=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)(x_i-\,u)^T$ΣT=N1​i=1∑N​(xi​−μ)(xi​−u)T可以看出来这是个对称矩阵，故$\begin{aligned}\Sigma=\Sigma^T=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)(x_i-\,u)^T， \Sigma^{-1}=(\Sigma^{-1})^T\end{aligned}$Σ=ΣT=N1​i=1∑N​(xi​−μ)(xi​−u)T，Σ−1=(Σ−1)T​再看第一个式子$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^N\bigg[\Sigma^{-1}(x_i-\mu)+(\Sigma^{-1})^T(x_i-\mu)\bigg]=0 \\\\ \implies&2\sum_{i=1}^N\bigg[\Sigma^{-1}(x_i-\mu)\bigg]=0 \\\\ \implies&\Sigma^{-1}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)=0 \\\\ \implies&\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)=0 \\\\ \implies& \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i \end{aligned}$⟹⟹⟹⟹​i=1∑N​[Σ−1(xi​−μ)+(Σ−1)T(xi​−μ)]=02i=1∑N​[Σ−1(xi​−μ)]=0Σ−1i=1∑N​(xi​−μ)=0i=1∑N​(xi​−μ)=0μ=N1​i=1∑N​xi​​

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