我们用级数来定义函数\(e^x\)。定义\(e^x=:1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!...\). 根据比值判别法， 这个级数对任意x都是绝对收敛的。这很好。但是我们还需要证明这样的级数具有\(e^x\)的所有性质：单调，可微，满射。

某个老师的讲义上提供了一种利用对级数重排的证明， 这对我来说非常值得学习，我前段时间花了一晚上看完了，尽管没有做到完全理解。而这里的目的是利用微分中值定理来证明，毕竟我上的是微积分课，不能用柯西收敛定理，级数重排。那我们应该怎么做呢？首先观察到\(f(x)>0, \forall x\geq 0\).这是显然的。观察可以发现，即便我们假设这个级数是可以逐项积分的，积分余项没有多大帮助，因为这个级数积分以后还是不好估计它的增量。

\(f'(x)>0, \forall x\geq 0\). 这也是显然的。这样我们就知道了\(e^x\)在\([0,\infty)\)是严格增加的。

现在还剩下对\(\forall x<0\) 的\(f(x)>0\)，以\(f(x)\)的单调性需要证明。 首先假设\(a<b, f(a)>0, f(b)>0\). 那容易证明\(f\)在区间\([a,b]\)上的最值在\(x=b\)取到。主要用反证法：\(f(a)>0\)，且\(a\)在区间最左边。闭区间最左边的极大值一定导数小于0. 所以\(f(a)\)不能是最值。而\((a,b)\)内的一点c如果是最值,则\(f(c)=f'(c)=0<f(b)\)，所以最大值只能是\(f(b)\). \(\square\)

这里可以看到\(f'=f\)是多么厉害的一件事! 假如说有一点x，\(f(x)\)取到（局部上的）极值，那立刻得到\(f(x)=f'(x)=0\). 所以x邻域内任何取值为正的一点都会大于\(f(x)\).

接下来要搞\(x\)是负数的时候的情况。我们想要证明对任意\(c\in(b-\frac{1}{2},b), f(c)>0\)，虽然\(f(c)\)可能比\(f(b)\)小，但是不会小太多，以至于它不会小到小于小于0。 当然\(f(c)>f(b)\)也不可能。因为如果这样，\(f\)必然有一个下降，\(f'(c)<0\), 所以会有\(f(c)<0<f(b)\)，矛盾 (当然这需要更多的讨论，也与接下来的证明策略无关，只是提供一种直观；我们甚至没有证明f是连续的，直接假设了它的可微）

断言\(\forall c \in (b-\frac{1}{2},b), f(c)>f(b)/2\)。注意到\(f(b)-f(c)=f(ξ)(b-a)>0, \exists ξ \in (c,b)\),所以\(0<f(ξ)<f(b)\)。
接下来\(f(b)-f(c)<f(ξ)/2<f(b)/2\). \(\square\).