1. 定义
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。且（1）函数在x0 处有定义；（2）x-> x0时，limf(x)存在；（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2. 间断点
间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
3. 局部保号性和局部有界性
4. 四则运算
f,g连续，则f+/-g,f.g,f/g都连续
5. 一切初等函数都是定义域上的连续函数
6. 最大值定理（最小值）
f在定义域上连续，则f在定义域上有最大值和最小值（定义域有界）
7. 介值性定理
如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
8. 一直连续性
首先闭区间上的连续函数必一致连续，而对于开区间，有这样的定理，有限开区间(a,b)上的连续函数一致连续的充要条件是两个单侧极限f(a+)和f(b-)都存在。对于无穷区间也有相应的定理，[a,+无穷)上连续的函数如果存在有限极限f(+无穷)=A，则在这区间上一致连续。由这两个定理很容易看出你的两个例子中，f(x)=x^2在(1,+无穷)不一致连续，在(0,1)上一致连续。
9. 例题
35. 若 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上连续, 且 \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) 等于有限数, 试证明 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续。
证 设 \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A\) (有限数), 则 \(\forall \in>0, \exists N(\epsilon)>0\), 使当 \(x>N\) 时, 有 \(\mid f(x)-A K \frac{\in}{3}\) 。
又 \(f(x)\) 在 \([a, N]\) 上连续, 依 Cantor 定理(在闭区间 \([a, b]\) 上连续的函数, 必在 \([a, b]\) 上一致连续), \(f(x)\) 在 \([a, N]\) 上一致连续, 故对上述 \(\in>0, \exists \delta(\epsilon)>0\), 当 \(x_{1}, x_{2} \in[a, N]\), 且 \(\mid x_{1}-x_{2} k \delta\) 时, 有 \(\mid f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right) k_{3}^{\epsilon}\) 。所以, 我们对 \(x_{1}, x_{2} \in\left[a_{+}+\infty\right)\) 进行讨论。
(1) 当 \(x_{1}, x_{2} \in[a, N]\) 时, \(\mid f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right) k \frac{\epsilon}{3}\);
(2) 当 \(x_{1} \in\left[a_{+}+N\right], x_{2} \in[N,+\infty)\) 时, 有
(3) 当 \(x_{1}, x_{2} \in(N,+\infty)\) 时, 有
\[\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| f\left|f\left(x_{1}\right)-A\right|+\left|f\left(x_{2}\right)-A\right| \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}<\epsilon 。 \]